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\begin{document}
\begin{preamble}
\subject{Vorlesung aus dem Sommersemester 2011}
\title{Geometrie und Topologie von Flächen}
\author{Priv\!.-Doz.\,Dr\kern-.1em.~Hartmut Weiß}%Priv.-Doz. Dr. Hartmut Weiß
\date{}
\publishers{\small ge\TeX{}t von Viktor Kleen \& Florian Stecker}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\tableofcontents
\clearpage
\end{preamble}

\section{Kurven}

\subsection{Kurven in $\mathbb R^n$}
\begin{definition}
Sei $I\subseteq\mathbb R$ ein Intervall. Eine stetige Abbildung $\gamma = (\gamma_1,\dots,\gamma_n)\colon I\to\mathbb R^n$ heißt (parametrisierte) \emph{Kurve}. Das Bild $\im\gamma\subseteq\mathbb R^n$ heißt \emph{Spur} der Kurve. Ist $I = [a,b]$ kompakt, so heißt $\gamma$ \emph{rektifizierbar}, falls
\[
L(\gamma) := \sup_{a=t_0 < \dots < t_N = b} \sum_{i=1}^N d_2\big(\gamma(t_i), \gamma(t_{i-1})\big) < \infty.
\]
$L(\gamma)$ heißt die \emph{Länge} von $\gamma$.
\end{definition}

\begin{definition}
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Ein $\phi\colon X\to X$ heißt \emph{Isometrie} von $X$, falls $d\big(\phi(x), \phi(y)\big) = d(x,y)$ für alle $x,y\in X$ gilt. Eine Isometrie von $(\mathbb R^n, d_2)$ heißt auch \emph{Bewegung}.
\end{definition}

\begin{remark}
Jede Bewegung ist von der Form $\phi(x) = Ax +b$ für $A\in O(n)$ und $b\in\mathbb R^n$.
\end{remark}

\begin{remark}
Ist $\gamma\colon [a,b]\to\mathbb R^n$ eine Kurve und $\phi$ eine Bewegung, so gilt $L(\phi\circ\gamma) = L(\gamma)$. Insbesondere ist $\phi\circ\gamma$ rektifizierbar, wenn $\gamma$ rektifizierbar ist.
\end{remark}

\begin{definition}
Eine Kurve $\gamma\colon I\to\mathbb R^n$ heißt
\vspace{-.75em}
\begin{itemize*}
\item \emph{(stetig) differenzierbar}, wenn $\gamma_i\colon I\to\mathbb R$ für $i=1,\dots,n$ (stetig) differenzierbar ist.
\item \emph{Lipschitz} oder \emph{Lipschitz-stetig}, wenn ein $L> 0$ existiert mit $d_2(\gamma(t), \gamma(s)) \leq L|t - s|$ für $t,s\in I$. Solch ein $L$ heißt Lipschitz-Konstante.
\item \emph{regulär}, wenn $\gamma$ differenzierbar und $\gamma'(t) = \big(\gamma_1'(t),\dots,\gamma_n'(t)\big)\neq 0$ ist.
\item \emph{$\mathscr C^k$-Kurve}, wenn $\gamma$ $k$-mal stetig differenzierbar ist.
\item \emph{$\mathscr C^\infty$-Kurve}, wenn $\gamma$ beliebig oft differenzierbar ist.
\end{itemize*}
\end{definition}

\begin{remark}
Ist $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n$ Lipschitz-stetig, so ist $\gamma$ rektifizierbar mit $L(\gamma)\leq L\cdot(b-a)$ für jede Lipschitz-Konstante $L$.
\end{remark}

\begin{remark}
Ist $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n$ eine $\mathscr C^1$-Kurve, so ist $\gamma$ rektifizierbar mit
\[
L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|_2 \dd t.
\]
\end{remark}

\begin{definition}
Ist $\gamma\colon I\to\mathbb R^n$ eine Kurve und $\varphi\colon J\to I$ ein Homöomorphismus, so ist $\gamma\circ\varphi\colon J\to\mathbb R^n$ eine Kurve und $\im(\gamma\circ\varphi) = \im\gamma$. $\varphi$ heißt \emph{Parametertransformation}. $\varphi$ heißt \emph{orientierungserhaltend}, wenn $\varphi$ monoton wachsend, und \emph{orientierungsumkehrend}, wenn $\varphi$ monoton fallend ist.
\end{definition}

\begin{remark}
Ist $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n$ rektifizierbar, so ist auch $\gamma\circ\varphi$ für jede Parametertransformation $\varphi$ rektifizierbar mit $L(\gamma\circ\varphi) = L(\gamma)$.
\end{remark}

\begin{definition}
Eine Kurve $\gamma\colon I\to\mathbb R^n$ heißt \emph{nach Bogenlänge parametrisiert}, falls $\gamma|[a,b]$ für jedes $[a,b]\subseteq I$ rektifizierbar mit $L(\gamma|[a,b]) = b-a$ ist.
\end{definition}

\begin{remark}
 Ist $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n$ eine reguläre $\mathscr C^1$-Kurve, so existiert eine Parametrisierung nach Bogenlänge: Setze
\[
\psi(t) = L(\gamma|[a,t]) = \int_a^{t} \underbrace{\|\gamma'(s)\|_2}_{\mathop{>} 0}\dd s.
\]
Dann ist $\psi'(t) = \|\gamma'(t)\|_2 > 0$, also $\psi$ streng monoton wachsend mit $\psi(a) = 0$ und $\psi(L) = L(\gamma)$. Also ist $\varphi := \psi^{-1}\colon [0,L(\gamma)]\to[a,b]$ eine orientierungserhaltende Parametertransformation. Es gilt
\[
(\gamma\circ\varphi)'(\tau) = \gamma'(\varphi(\tau))\varphi'(\tau) = \frac{\gamma'(\varphi(\tau))}{\psi'(\varphi(\tau))} = \frac{\gamma'(\varphi(\tau))}{\|\gamma'(\varphi(\tau))\|_2},
\]
also folgt
\[
L((\gamma\circ\varphi)|[\tau_0,\tau_1]) = \int_{\tau_0}^{\tau_1} \|(\gamma\circ\varphi)'(\tau)\|_2\dd\tau = \tau_1 - \tau_0
\]
für alle $[\tau_0,\tau_1]\subseteq [a,b]$. Insbesondere gilt: Ist $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n$ eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^1$-Kurve, so ist $\|\gamma'(t)\|_2 = 1$ für alle $t\in[a,b]$.
\end{remark}

\begin{definition}
Eine nichtkonstante Kurve $\gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R^n$ heißt \emph{periodisch}, falls ein $T>0$ existiert mit $\gamma(t + T) = \gamma(t)$ für alle $t\in\mathbb R$. Die kleinste solche Zahl heißt \emph{Periode} von $\gamma$. Eine periodische Kurve heißt auch \emph{geschlossen}. Ist $\gamma$ periodisch mit Periode $T > 0$ und $\gamma|[0,T)$ injektiv, so heißt $\gamma$ \emph{einfach geschlossen}.
\end{definition}

\subsection{Ebene Kurven}
Eine Kurve $\gamma\colon I\to\mathbb R^2$ heißt \emph{ebene Kurve}. Ab jetzt sei $\gamma$ eine reguläre $\mathscr C^2$-Kurve. $v(t) := \gamma'(t) = \big(\gamma_1'(t), \gamma_2'(t)\big)\in\mathbb R^2\setminus\{0\}$ heißt \emph{Geschwindigkeitsvektor}, $n(t) := Jv(t)$ mit $J = \begin{smallpmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{smallpmatrix}\in SO(2)$ heißt \emph{Normalenvektor}. Ist $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert, so gilt $\|v(t)\|_2 = \|n(t)\|_2 = 1$. Weiterhin gilt in diesem Fall
\[
0 = \frac{\diff}{\diff t}\scalar{\gamma'(t)}{\gamma'(t)} = 2\scalar{\gamma''(t)}{\gamma'(t)}.
\]
Also ist $\gamma''(t)\perp \gamma'(t)$ für alle $t\in I$ und es existiert genau ein $\kappa(t)\in\mathbb R$ mit $\gamma''(t) = \kappa(t) n(t)$.

\begin{definition}
Sei $\gamma\colon I\to\mathbb R^2$ eine nach Bogenlänge parametrisierte (also auch reguläre) $\mathscr C^2$-Kurve. Die oben definierte Zahl $\kappa(t)\in\mathbb R$ heißt \emph{Krümmung von $\gamma$ in $t\in I$}. Die Funktion $\kappa\colon I\to\mathbb R, t\mapsto \kappa(t)$ heißt \emph{Krümmung von $\gamma$}.
\end{definition}

\begin{example}
Sei $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2, t\mapsto \gamma_0 + tv_0$ mit $\gamma_0,v_0\in\mathbb R^2$ und $\|v_0\|_2 = 1$. Dann gilt $\gamma'(t) = v_0$ und $\gamma''(t) = 0$ für $t\in [a,b]$ und wegen $\|v_0\|_2=1$ ist $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert. Also gilt $\kappa = 0$.
\end{example}

\begin{example}
Sei $\gamma\colon \mathbb R\to\mathbb R^2, t\mapsto R\left(\cos\frac{t}{R}, \sin\frac{t}{R}\right)$ die Kreislinie mit Radius $R > 0$, also periodisch mit Periode $2\pi R$. Dann gilt $\gamma'(t) = \left(-\sin\frac{t}{R}, \cos\frac{t}{R}\right)$, also $\|\gamma'(t)\|_2 = 1$ und $\gamma$ ist nach Bogenlänge parametrisiert. Weiter gilt $\gamma''(t) = \frac{1}{R}\left(-\cos\frac{t}{R}, -\sin\frac{t}{R}\right)$ und $n(t) = \left(-\cos\frac{t}{R}, -\sin\frac{t}{R}\right)$. Also ist $\gamma''(t) = \frac{1}{R} n(t)$ für alle $t\in\mathbb R$, also $\kappa = \frac{1}{R}$.
\end{example}

\begin{definition}
Sei $\gamma\colon I\to\mathbb R^2$ eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^2$-Kurve. Dann heißt $\big(e_1(t), e_2(t)\big) := \big(v(t), n(t)\big)$, $t\in I$, \emph{begleitendes 2-Bein}.
\end{definition}
\begin{remark}
$\big(e_1(t), e_2(t)\big)$ ist eine positiv orientierte Orthonormalbasis von $\mathbb R^2$ für alle $t\in I$.
\end{remark}

\begin{theorem}[Frenet-Gleichungen für $n=2$]
Sei $\gamma\colon I\to\mathbb R^2$ eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^2$-Kurve. Dann gilt für $t\in I$:
\[
\begin{pmatrix}
v'(t) \\
n'(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & \kappa(t) \\
-\kappa(t) & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
v(t) \\
n(t)
\end{pmatrix}
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Die erste Gleichung ist gerade die Definition der Krümmung. Wegen
\[
n'(t) = \frac{\diff}{\diff t}\left(J v(t)\right) = Jv'(t) = \kappa(t) J n(t) = \kappa(t) J^2 v(t) = -\kappa(t) v(t)
\]
folgt die zweite Gleichung.
\end{proof}

Sei $\phi\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ eine orientierungserhaltende Bewegung, d.h. $\phi(x) = Ax + b$ für $A\in SO(2)$ und $b\in\mathbb R^2$. Sei $\gamma\colon I\to\mathbb R^2$ eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^2$-Kurve. Dann ist auch $\tilde\gamma = \phi\circ\gamma\colon I \to\mathbb R^2$ nach Bogenlänge parametrisiert und die Krümmung $\tilde\kappa$ von $\tilde\gamma$ ist gleich der Krümmung $\kappa$ von $\gamma$. Kurz gesagt ist die Krümmung einer ebenen Kurve invariant unter orientierungserhaltenden Bewegungen, denn es gilt $\tilde\gamma' = (\phi\circ\gamma)' = A\gamma'$, $\tilde\gamma'' = A\gamma''$ und $\tilde n = J\tilde v = JA v = A n$, also $\tilde v' = A v' =  \kappa A n = \kappa\tilde n$.

\begin{theorem}[Hauptsatz der lokalen Kurventheorie für $n=2$]
Sei $\kappa\colon I\to\mathbb R$ stetig. Dann existiert eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^2$-Kurve $\gamma\colon I\to\mathbb R$ mit Krümmung $\kappa$. Diese ist bis auf Komposition mit orientiertungserhaltenden Bewegungen eindeutig bestimmt.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sei $t_0\in I$ beliebig und setze
\[
\Theta(t) = \int_{t_0}^t \kappa(s)\dd s
\]
und für $v_0\in \mathbb R^2$ mit $\|v_0\|_2 = 1$ sei
\[
v(t) = \begin{pmatrix}
\cos\Theta(t) & -\sin\Theta(t) \\
\sin\Theta(t) & \phantom{+}\cos\Theta(t)
\end{pmatrix}v_0.
\]
Schließlich sei für $\gamma_0\in\mathbb R^2$
\[
\gamma(t) = \gamma_0 + \int_{t_0}^t v(s)\dd s.
\]
Dann ist $\gamma$ eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^2$-Kurve mit $\gamma' = v$ und
\[
\gamma''(t) = v'(t) = \kappa(t) \underbrace{\begin{pmatrix}
-\sin\Theta(t) & -\cos\Theta(t) \\
\phantom{+}\cos\Theta(t) & -\sin\Theta(t)
\end{pmatrix}v_0}_{J v(t)} = \kappa(t)n(t)
\]
für alle $t\in I$. Also besitzt $\gamma$ die Krümmung $\kappa$. Ist $\tilde \gamma\colon I\to\mathbb R^2$ eine weitere nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit Krümmung $\kappa$ und $\tilde v(0) = v_0$, so gilt für $f(t) = \frac{1}{2}\|v(t) - \tilde v(t)\|^2$:
\[
f'(t) = \scalar{v'(t) - \tilde v'(t)}{v(t) - \tilde v(t)} = \kappa(t)\scalar{J(v(t) - \tilde v(t))}{v-\tilde v(t)} = 0
\]
und
\[
f(0) = \frac{1}{2}\|v(0) - \tilde v(0)\|^2 = 0.
\]
Also ist $f=0$, d.h. $v(t) = \tilde v(t)$ für alle $t\in I$, also auch $\gamma(t) = \tilde \gamma(t)$ für alle $t\in I$. Da es zu $\gamma_0,\tilde \gamma_0\in\mathbb R^2$, bzw. $v_0,\tilde v_0\in\mathbb R^2$, $\|v_0\| = \|\tilde v_0\| = 1$, genau eine orientierungserhaltende Bewegung $\phi(x) = Ax + b$ gibt mit $Av_0 = \tilde v_0$ und $\gamma_0 + b = \tilde\gamma_0$ folgt die Behauptung.
\end{proof}

Wir haben im Beweis gesehen: Ist $\gamma\colon I\to\mathbb R^2$ eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^2$-Kurve, so ist für $\Theta_0\in\mathbb R$ mit $v_0 = \begin{smallpmatrix}\cos\Theta_0\\ \sin\Theta_0\end{smallpmatrix}$ ($\Theta_0$ ist eindeutig mod $2\pi\mathbb Z$) durch
\[
\Theta(t) = \Theta_0 + \int_{t_0}^t \kappa(s)\dd s
\]
eine Funktion $\Theta\colon I\to\mathbb R$ gegeben, die mod $2\pi\mathbb Z$ den orientierten Winkel zwischen $e_1 = \begin{smallpmatrix}1\\ 0\end{smallpmatrix}$ und $v(t)$ angibt. Es gilt also für $t\in I$
\[
v(t) = \begin{pmatrix}
\cos\Theta(t)\\
\sin\Theta(t)
\end{pmatrix}.
\]
Allgemeiner gilt:
\begin{lemma}
Sei $v\colon I\to S^1\subseteq\mathbb R^2$ stetig. Sei $t_0\in I$ und $v_0 = v(t_0)$. Dann existiert stetiges $\Theta\colon I\to\mathbb R$ mit $v(t) = \begin{smallpmatrix}\cos\Theta(t)\\ \sin\Theta(t)\end{smallpmatrix}$ für alle $t\in I$. Die Funktion $\Theta$ ist eindeutig bis auf Addition einer Konstanten aus $2\pi\mathbb Z$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweisskizze]
Sei $\Theta_0\in\mathbb R$ mit $v_0 = \begin{smallpmatrix}\cos\Theta_0\\ \sin\Theta_0\end{smallpmatrix}$. Gesucht ist ein stetiges $\Theta\colon I\to\mathbb R$ mit
\begin{enumerate}[i)]
\item $\Theta(t_0) = \Theta_0$
\item $\pi\circ\Theta = v$
\end{enumerate}
wobei $\pi\colon \mathbb R\to S^1, \Theta \to \begin{smallpmatrix}\cos\Theta\\ \sin\Theta\end{smallpmatrix}$. Es sei $\pi_k = \pi | I_k\colon I_k\to \pi(I_k) =: J_k$ mit $I_k = \left(\frac{k}{2}\pi, \left(\frac{k}{2}+1\right)\pi\right)$. Dann ist $\pi_k$ ein Homöomorphismus mit Umkehrabbildung $s_k\colon J_k\to I_k$, Weiterhin gilt
\[
J_k = \begin{cases}
S^1\cap\{(x,y)\in\mathbb R^2\colon y > 0\} & \text{für $k\equiv 0\pmod{4}$}\\
S^1\cap\{(x,y)\in\mathbb R^2\colon x < 0\} & \text{für $k\equiv 1\pmod{4}$}\\
S^1\cap\{(x,y)\in\mathbb R^2\colon y < 0\} & \text{für $k\equiv 2\pmod{4}$}\\
S^1\cap\{(x,y)\in\mathbb R^2\colon x > 0\} & \text{für $k\equiv 3\pmod{4}$}
\end{cases}
\]
Die $I_k$ (bzw. $J_k$) überdecken $\mathbb R$ (bzw. $S^1$). Es gibt also ein $k_0\in\mathbb Z$ mit $\Theta_0\in I_{k_0}$ und $v_0 \in J_{k_0}$. Da $v$ stetig ist, existiert $\delta > 0$ mit $v([t_0-\delta, t_0+\delta]\cap I)\subseteq I_{k_0}$. Die Funktion $\Theta|[t_0-\delta,t_0+\delta]\cap I$ ist also eindeutig gegeben durch
\[
\Theta|[t_0-\delta,t_0+\delta]\cap I := s_{k_0}\circ v|[t_0-\delta,t_0+\delta]\cap I.
\]
Führe die gleiche Konstruktion für die Randpunkte durch. Man erhält
\[
\tilde I = \bigcup_{t_0\in [a,b]\subseteq I\atop \Theta|[a,b]\text{ definiert}} [a,b]\subseteq I
\]
ist offen, abgeschlossen und nichtleer. Also ist $\tilde I = I$.
\end{proof}

\begin{definition}
Eine Teilmenge $T\subseteq\mathbb R^2$ heißt sternförmig bezüglich $x_0\in T$, falls mit $x\in T$ immer auch die Strecke $[x_0,x] = \{tx_0 + (1-t) x\colon t\in [0,1]\}$ in $T$ liegt.
\end{definition}

\begin{lemma}
Ist $T\subseteq\mathbb R^2$ sternförmig bezüglich $x_0\in T$ und $v\colon T\to S^1$ stetig, $v_0 = v(x_0)$, so existiert ein stetiges $\Theta\colon T\to\mathbb R$ mit $v(t) = \begin{smallpmatrix}
\cos\Theta(t) \\
\sin\Theta(t)
\end{smallpmatrix}$
für $t\in T$. $\Theta$ ist eindeutig bis auf Addition einer Konstante in $2\pi\mathbb Z$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Wähle $\Theta_0\in\mathbb R$ mit $v_0 = \begin{smallpmatrix}\cos\Theta_0\\ \sin\Theta_0\end{smallpmatrix}$. Dann ist $\Theta$ mit $\Theta(x_0) = \Theta_0$ durch Lemma 1 eindeutig auf allen Strecken $[x_0,x]\subseteq T$ festgelegt, insbesondere ist $\Theta$ auf allen $x\in T$ festgelegt. Zu zeigen bleibt, dass das so definierte $\Theta\colon T\to\mathbb R$ stetig ist. Sei $x\in T$. Dann existiert ein $k\in\mathbb Z$ mit $v(x)\in J_k$ und $\Theta(x)\in I_k$. Da $v$ stetig ist, existiert $\delta > 0$ mit $v(B_\delta(x)\cap T)\subseteq J_k$. Dann gilt $\Theta|B_\delta(x)\cap T = s_k\circ v|B_\delta(x)\cap T$. Insbesondere ist $\Theta$ stetig in $x$.
\end{proof}

Sei $\gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R^2$ eine geschlossene, reguläre $\mathscr C^1$-Kurve mit Periode $T > 0$. Sei $\Theta\colon\mathbb R\to\mathbb R$ eine Winkelfunktion für den normierten Geschwindigkeitsvektor, d.h.
\[
\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|} = \begin{pmatrix}
\cos\Theta(t)\\
\sin\Theta(t)
\end{pmatrix}\quad\text{für alle $t\in\mathbb R$.}
\]
Dann gilt
\[
\omega(\gamma) := \frac{1}{2\pi}\big(\Theta(T) - \Theta(0)\big)\in\mathbb Z.
\]
$\omega(\gamma)$ heißt \emph{Windungszahl} der geschlossenen, regulären $\mathscr C^1$-Kurve $\gamma\colon \mathbb R\to\mathbb R^2$. $\omega(\gamma)$ beschreibt die Anzahl der vollen Drehungen von $v(t)$ gegen den Uhrzeigersinn.

\begin{remark}
Ist $\gamma$ eine geschlossene, nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^2$-Kurve mit Periode $T>0$, so gilt
\[
\omega(\gamma) = \frac{1}{2\pi} \int_0^T \kappa(t)\dd t.
\]
\end{remark}
\begin{remark}
Ist $\gamma$ eine geschlossene, reguläre $\mathscr C^1$-Kurve mit Periode $T>0$, $t_0\in\mathbb R$. Dann ist $\tilde\gamma(t) = \gamma(t+t_0)$ wieder eine solche Kurve und es gilt $\omega(\gamma) = \omega(\tilde\gamma)$, denn eine Winkelfunktion für $\tilde v(t) = \frac{\tilde\gamma'(t)}{\|\tilde\gamma'(t)\|}$ ist gegeben durch $\tilde\Theta(t) = \Theta(t+t_0)$.
\end{remark}

\begin{remark}
Sei $\gamma$ wie oben und $\tilde\gamma(t) = \gamma(-t)$. Dann ist $\omega(\gamma) = -\omega(\tilde\gamma)$.
\end{remark}

\begin{remark}
Ist $\varphi\colon\mathbb R\to\mathbb R$ eine $\mathscr C^1$-Parametertransformation mit $\varphi(t+T) = \varphi(t)+T$, so gilt für $\tilde\gamma = \gamma\circ\varphi$:
\[
\omega(\tilde\gamma) = \begin{cases}
\omega(\gamma)  &\text{für orientierungserhaltendes $\varphi$} \\
-\omega(\gamma) &\text{für orientierungsumkehrendes $\varphi$}
\end{cases}
\]
\end{remark}

\begin{theorem}[Umlaufsatz]
Ist $\gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R^2$ eine \emph{einfach} geschlossene, reguläre $\mathscr C^1$-Kurve, so gilt $\omega(\gamma)\in\{\pm 1\}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sei $T>0$ die Periode von $\gamma$. Sei $x_0 = \max\{\gamma_1(t)\colon t\in\mathbb R\}$ und durch eine orientierungserhaltende Parametertransformation können wir annehmen, dass $\gamma_1(0) = x_0$. Weiter können wir annehmen, dass $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert ist und $\gamma'(0) = e_2$ gilt (möglicherweise durch eine orientierungsumkehrende Parametertransformation). Sei $G$ die Gerade, die durch $s\mapsto \gamma(0) + se_1$ parametrisiert wird. Auf dem positiven Halbstrahl liegen keine Punkte von $\gamma$ ($*$). Wir setzen
\[
X = \{(x,y)\in\mathbb R^2\colon 0\leq x\leq y\leq T\}.
\]
Dann ist $X$ konvex, also sternförmig. Wir betrachten die stetige Abbildung $v\colon X\to S^1$ mit
\[
v(x,y) = \begin{cases}
\frac{\gamma(y) - \gamma(x)}{\|\gamma(y) - \gamma(x)\|} &x< y, (x,y)\neq(0,T) \\
\gamma'(t)& x=y=t \\
-\gamma'(0) & (x,y) = (0,T)
\end{cases}
\]
Wähle eine Winkelfunktion $\Theta\colon X\to\mathbb R$ gemäß Lemma 2, d.h. $v(x,y) = \begin{smallpmatrix}
\cos\Theta(x,y) \\ \sin\Theta(x,y)
\end{smallpmatrix}$ für alle $(x,y)\in X$. Insbesondere gilt also $\gamma'(t) = v(t,t) = \begin{smallpmatrix}
\cos\Theta(t,t)\\ \sin\Theta(t,t)\end{smallpmatrix}$ für $t\in[0,T]$, d.h.
\[
\omega(\gamma) = \frac{1}{2\pi}\big(\Theta(T,T) - \Theta(0,0)\big) = \frac{1}{2\pi}\big(\Theta(T,T) - \Theta(0,T) + \Theta(0,T) - \Theta(0,0)\big).
\]
Es gilt $\Theta(0,T) - \Theta(0,0) = \pi$ und $\Theta(T,T) - \Theta(0,T) = \pi$, denn sei ohne Einschränkung $\Theta(0,0) = \frac{\pi}{2}$. Wegen ($*$) liegt $e_1$ nicht im Bild von $t\mapsto v(0,t)$, d.h. $2\pi\mathbb Z$ liegt nicht im Bild von $t\mapsto \Theta(0,t)$. Weiterhin gilt $\Theta(0,T) \in \frac{3\pi}{2} + 2\pi\mathbb Z$. Da $\Theta$ stetig ist, folgt aus dem Zwischenwertsatz $\Theta(0,T) = \frac{3\pi}{2}$, also $\Theta(0,T) - \Theta(0,0) = \pi$. Wegen $\Theta(T,T)\in\frac{\pi}{2}+2\pi\mathbb Z$ und wegen ($*$) liegt $-e_1$ nicht im Bild von $t\mapsto v(t,T)$, d.h. $\pi+2\pi\mathbb Z$ liegt nicht im Bild von $t\mapsto \Theta(T,t)$. Also ist $\Theta(T,T) = \frac{5\pi}{2}$, also folgt $\Theta(T,T) - \Theta(0,T) = \pi$. Damit folgt die Behauptung.
\end{proof}
\begin{corollary}
Ist $\gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R^2$ eine einfach geschlossene, nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^2$-Kurve mit Periode $T>0$, so gilt
\[
\int_0^T\kappa(t)\dd t\in\{\pm 2\pi\}.
\]
\end{corollary}

Sei $\gamma\colon I\to\mathbb R^2$ eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve und $t_0\in I$. Ist dann $\kappa(t_0)>0$, so liegt $\gamma(t)$ für $t$ nahe $t_0$ links der Tangente an $\gamma(t_0)$, denn nach Taylor gilt
\begin{align*}
\scalar{\gamma(t) - \gamma(t_0)}{n(t_0)} &= \scalar{\gamma(t_0)-\gamma(t_0)}{n(t_0)} + \scalar{\gamma'(t_0)}{n(t_0)}(t - t_0) + \\
&\quad +\frac{1}{2}\scalar{\gamma''(t_0)}{n(t_0)}(t-t_0)^2 + o(|t-t_0|^2) =\\
&= \frac{1}{2}\kappa(t_0)(t-t_0)^2 + o(|t-t_0|^2) > 0
\end{align*}
für $t$ nahe $t_0$. Analog liegt $\gamma(t)$ für $\kappa(t_0) < 0$ für $t$ nahe $t_0$ rechts der Tangente an $\gamma(t_0)$.

\begin{definition}
Eine einfach geschlossene, nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^2$-Kurve $\gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R^2$ heißt \emph{konvex}, falls gilt: $\kappa(t) > 0$ für alle $t\in \mathbb R$ oder $\kappa(t) < 0$ für alle $t\in\mathbb R$.
\end{definition}
\begin{lemma}
Sei $\gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R^2$ eine einfach geschlossene, nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^2$-Kurve. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\smallspace
\item Ist $\kappa > 0$, so liegt $\gamma(t)$ links der Tangente an $\gamma(t_0)$ für alle $t_0\in\mathbb R$ und $\gamma(t)\neq \gamma(t_0)$.
\item Ist $\kappa < 0$, so liegt $\gamma(t)$ rechts der Tangente an $\gamma(t_0)$ für alle $t_0\in\mathbb R$ und $\gamma(t)\neq \gamma(t_0)$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
Sei $\kappa>0$ und $T>0$ die Periode von $\gamma$. Angenommen,
\[
f(t_1) := \scalar{\gamma(t_1)-\gamma(t_0)}{n(t_0)} = 0
\]
für $t_1\in[0,T)$, $t_1\neq t_0$. Dann existiert $t_- \in [0,T)\setminus\{t_0\}$ mit $f'(t_-) = 0$ und $t_+\in[0,T)\setminus\{t_0,t_-\}$ mit $f'(t_+) = 0$. Natürlich gilt $f'(t_0) = 0$. Unter den 3 Vektoren $\gamma'(t_-), \gamma'(t_0)$ und $\gamma'(t_+)$ zeigen also mindestens 2 in die gleiche Richtung, d.h. es existieren $t'\neq t''\in\{t_-,t_0,t_+\}$ mit $\gamma'(t') = \gamma'(t'')$. Es sei ohne Einschränkung $0 = t' < t'' < T$. Sei $\Theta(t)$ eine Winkelfunktion für $v(t) = \gamma'(t)$. Wegen $\Theta' = \kappa > 0$ ist $\Theta$ streng monoton wachsend, also
\[
2\pi\omega(\gamma) = \Theta(T) - \Theta(0) = \Theta(T) - \Theta(t'') + \Theta(t'') - \Theta(0) = 2\pi k + 2\pi l
\]
mit $k,l\geq 1$, was unmöglich ist.
\end{proof}

\begin{definition}
Sei $\gamma\colon I\to\mathbb R^2$ eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^3$-Kurve. Ein $t_0\in I$ heißt Scheitel von $\gamma$, falls $\kappa'(t_0) = 0$. Insbesondere sind lokale Extrema von $\kappa$ Scheitel von $\gamma$.
\end{definition}

\begin{theorem}[Vierscheitelsatz]
Eine konvexe $\mathscr C^3$-Kurve $\gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R^2$ hat mindestens 4 Scheitel.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sei ohne Einschränkung $\kappa > 0$ und $\kappa$ habe ein Minimum in $t = 0$ und ein Maximum in $t=t_0$, $0 < t_0 < T$, mit der Periode $T>0$ von $\gamma$. Weiterhin können wir erreichen, dass $\gamma(0) = 0$ und die Strecke von $\gamma(0)$ nach $\gamma(t_0)$ auf der positiven $x$-Achse liegt. Schreibe $\gamma(t) = \big(x(t), y(t)\big)$, also $x(0) = y(0) = 0$ und $\big(x(t_0), y(t_0)\big) = (x_0,0)$ für $x_0 > 0$. Es gilt $y(t) < 0$ für $0 < t < t_0$, denn $(x_0,0)$ liegt links der Tangente an $\gamma(0)$, also $y'(0) < 0$. Also ist $y(t) < 0$ für kleine $t>0$. Wäre $y(t) = 0$ für ein $0 < t < t_0$, so lägen $\gamma(0)$, $\gamma(t)$ und $\gamma(t_0)$ auf einer Geraden, was ein Widerspruch zur Konvexität von $\gamma$ ist. Genauso zeigt man $y(t) > 0$ für $t_0 < t < T$.

Wären $0$ und $t_0$ die einzigen Scheitel, so wäre $\kappa'(t) > 0$ für alle $0< t < t_0$ und $\kappa'(t) < 0$ für alle $0 < t < T$. Also wäre $y(t)\kappa'(t) < 0$ für $t\neq 0,t_0$. Es gilt
\[
\int_0^T y(t)\kappa'(t)\dd t = -\int_0^T y'(t)\kappa(t)\dd t = \int_0^Tx''(t)\dd t = x'(T) - x'(0) = 0
\]
was ein Widerspruch zu $y \kappa' < 0$ fast überall ist. Es muss also ein weiterer Scheitel $t_1$ existieren, etwa $0 < t_1 < t_0$. Die Annahme, dass $t_1$ der einzige weitere Scheitel von $\gamma$ ist, impliziert, dass $\kappa'|_{(0,t_1)\cup(t_1,t_0)} > 0$, also
\[
0 = \int_0^T y(t)\kappa'(t)\dd t = \int_0^{t_0}y(t)\kappa'(t)\dd t + \int_{t_0}^T y(t)\kappa'(t)\dd t < 0.
\]
Also existiert ein vierter Scheitel auf $(0,t_0)$ oder $(t_0,T)$.
\end{proof}

\begin{example}
Die Kreislinie mit Radius $R>0$ hat Krümmung $\frac{1}{R}$, also sind alle Parameterwerte Scheitel.
\end{example}
\begin{example}
Die Ellipse mit Halbachsen $a\neq b$, $a,b > 0$:
\[
\gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R^2, t\mapsto \big(a\cos t, b\sin t\big)
\]
hat 4 Scheitel in $[0,2\pi)$: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$.
\end{example}

\begin{example}
Ist $\gamma\colon I\to\mathbb R^2$ regulär, aber nicht notwendigerweise nach Bogenlänge parametrisiert, und $\varphi\colon J\to I$ eine Parametertransformation, so dass $\tilde \gamma = \gamma\circ\varphi$. Dann gilt
\[
\tilde\kappa(t) = \frac{1}{\|\gamma'(t)\|^3}\det\begin{pmatrix}
\gamma'_1(t) & \gamma''_1(t) \\
\gamma'_2(t) & \gamma''_2(t)
\end{pmatrix}
\]
\end{example}

\subsection{Raumkurven}
Eine Kurve $\gamma\colon I\to\mathbb R^3$ heißt \emph{Raumkurve}. Sei jetzt im Folgenden $\gamma$ eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^3$-Kurve.
\begin{definition}
Die \emph{Krümmung} $\kappa\colon I\to\mathbb R$ von $\gamma\colon I\to\mathbb R$ sei definiert durch $\kappa(t) = \|\gamma''(t)\|$.
\end{definition}

\begin{remark}
Wie im ebenen Fall gilt für alle $t\in I$:
\[
0 = \frac{\diff}{\diff t}\scalar{\gamma'(t)}{\gamma'(t)} = 2\scalar{\gamma''(t)}{\gamma'(t)}
\]
Das heißt $\gamma''\perp\gamma'$.
\end{remark}

\begin{definition}
$v(t) = \gamma'(t)$ heißt \emph{Geschwindigkeitsvektor} und im Falle $\kappa(t) > 0$ heißt $n(t) = \frac{\gamma''(t)}{\|\gamma''(t)\|}$ \emph{Normalenvektor} und $b(t) = v(t)\times n(t)$ \emph{Binormalenvektor} von $\gamma$ in $t\in I$.
\end{definition}

\begin{definition}
Für $t \in I$ heißt $\big(e_1(t),e_2(t),e_3(t)\big) = \big(v(t),n(t),b(t)\big)$ das \emph{begleitende Dreibein} von $\gamma$ in $t$.
\end{definition}

\begin{remark}
Für $t\in I$ mit $\kappa(t) > 0$ ist $\big(e_1(t),e_2(t),e_3(t)\big)$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis von $\mathbb R^3$.
\end{remark}

\begin{remark}
Für $t\in I$ mit $\kappa(t)>0$ gilt $\scalar{v'(t)}{n(t)} = \scalar{\gamma''(t)}{n(t)} = \kappa(t)$. Anschaulich misst die Krümmung, wie stark $v$ in Richtung von $n$ abkippt.
\end{remark}

\begin{definition}
Für $t\in I$ mit $\kappa(t) > 0$ heißt $\tau(t) = \scalar{n'(t)}{b(t)}\in\mathbb R$ die \emph{Torsion} von $\gamma$ in $t$.
\end{definition}

\begin{example}
Ist $(\gamma_1,\gamma_2) = \gamma\colon I\to\mathbb R^2$ eine ebene, nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^3$-Kurve, so ist durch $\tilde\gamma = (\gamma_1,\gamma_2,0)$ eine Raumkurve definiert. Es gilt $\tilde v = \tilde \gamma' = (\gamma_1',\gamma_2',0)$ und $\tilde\gamma'' = (\gamma_1'',\gamma_2'',0)$, also ist $\tilde n = (\pm n, 0)$, falls $\tilde\kappa(t) > 0$, und $\tilde\kappa = |\kappa|$. Weiterhin gilt $\tilde b(t) = e_3(t)$ und $\tilde n'(t) = (\pm n'(t), 0)$, also $\tilde \tau(t) = 0$ für alle $t\in I$ mit $\tilde\kappa(t)> 0$.
\end{example}

\begin{example}
Die Schraubenlinie ist definiert durch $\gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R^3, t\mapsto \big(\cos\frac{t}{\sqrt 2}, \sin\frac{t}{\sqrt 2}, \frac{t}{\sqrt 2}\big)$. Also ist $\gamma'(t) = \frac{1}{\sqrt 2} \big(-\sin\frac{t}{\sqrt 2}, \cos\frac{t}{\sqrt 2}, 1\big)$ und $\|\gamma'(t)\|^2 = 1$. Also ist $\gamma$ nach Bogenlänge parametrisiert. Weiter ist $\gamma''(t) = \frac{1}{2}\big(-\cos\frac{t}{\sqrt 2}, -\sin\frac{t}{\sqrt 2},0\big)$, also $\kappa(t) = \|\gamma''(t)\| = \frac{1}{2}$ und $n(t) = \big(-\cos\frac{t}{\sqrt 2}, -\sin\frac{t}{\sqrt 2},0\big)$. Weiterhin ist $b(t) = v(t)\times n(t) = \frac{1}{\sqrt 2} \big(\sin\frac{t}{\sqrt 2}, -\cos\frac{t}{\sqrt 2}, 1\big)$, und $n'(t) = \frac{1}{\sqrt 2}\big(\sin\frac{t}{\sqrt 2}, -\cos\frac{t}{\sqrt 2}, 0\big)$, also $\tau(t) = \scalar{n'(t)}{b(t)} = \frac{1}{2}$.
\end{example}

\begin{remark}
Ist $\phi\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ eine orientierungserhaltende Bewegung und $\gamma\colon I\to\mathbb R^3$ eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^3$-Kurve, dann gilt für $\tilde \gamma = \phi\circ\gamma$: $\tilde\kappa = \kappa$ und $\tilde\tau = \tau$.
\end{remark}

%\setcounter{theorem}{0}
\begin{theorem}[Frenetgleichungen]
Sei $\gamma\colon I\to\mathbb R^3$ eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^3$-Kurve mit $\kappa(t) > 0$ für alle $t\in I$. Dann gilt für alle $t\in I$:
\[
\begin{pmatrix}
v'(t) \\
n'(t) \\
b'(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & \kappa(t) & 0 \\
-\kappa(t) & 0 & \tau(t) \\
0 & -\tau(t) & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
v(t) \\
n(t) \\
b(t)
\end{pmatrix}
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
$v'(t) = \kappa(t) n(t)$ ist klar. Da $v(t), n(t), b(t)$ eine Orthonormalbasis von $\mathbb R^3$ ist, gilt
\begin{align*}
n'(t) &= \scalar{n'(t)}{v(t)}v(t) + \scalar{n'(t)}{n(t)}n(t) + \scalar{n'(t)}{b(t)}b(t) = \\
&= \left(\frac{\diff}{\diff t}\scalar{n(t)}{v(t)} - \scalar{n(t)}{v'(t)}\right)v(t) + \frac{1}{2}\left(\frac{\diff}{\diff t}\scalar{n(t)}{n(t)}\right) n(t) + \tau(t)b(t) \\
&= -\kappa(t)v(t) + \tau(t)b(t)
\end{align*}
Genauso gilt
\begin{align*}
b'(t) &= \scalar{b'(t)}{v(t)}v(t) + \scalar{b'(t)}{n(t)}n(t) + \scalar{b'(t)}{b(t)}b(t) =\\
&= \left(\frac{\diff}{\diff t}\scalar{b(t)}{v(t)} - \scalar{b(t)}{v'(t)}\right)v(t) + \left(\frac{\diff}{\diff t}\scalar{b(t)}{n(t)} - \scalar{b(t)}{n'(t)}\right) n(t) \\
&\quad{}+ \frac{1}{2}\left(\frac{\diff}{\diff t}\scalar{b(t)}{b(t)}\right)b(t) =\\
&= 0 + \big(0 - \scalar{b(t)}{-\kappa(t)v(t) + \tau(t)b(t)}\big)n(t) = -\tau(t) n(t)\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\begin{theorem}[Hauptsatz der lokalen Kurventheorie für $n=3$]
Seien $\kappa\colon I\to\mathbb R_{>0}$, $\tau\colon I\to\mathbb R$ stetig. Dann existiert eine nach Bogenlänge parametrisierte $\mathscr C^3$-Kurve $\gamma\colon I\to\mathbb R^3$ mit Krümmung $\kappa$ und Torsion $\tau$. Diese ist bis auf Komposition mit orientierungserhaltenden Bewegungen eindeutig bestimmt.
\end{theorem}

\begin{proof}
Betrachte das lineare Differentialgleichungssystem
\[
\begin{pmatrix}
\gamma'(t) \\
v'(t) \\
n'(t) \\
b'(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \kappa(t) & 0 \\
0 & -\kappa(t) & 0 & \tau(t) \\
0 & 0 & -\tau(t) & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\gamma(t) \\
v(t) \\
n(t) \\
b(t)
\end{pmatrix}
\]
Sei $t_0\in I$. Existenz- und Eindeutigkeitssätze für gewöhnliche (lineare) Differentialgleichung liefern: Es existiert genau eine Lösung $(\gamma,v,n,b)$ auf $I$ mit $\gamma(t_0) = 0$, $v(t_0) = e_1$, $n(t_0) = e_2$ und $b(t_0) = e_3$. Aus den Frenetgleichungen folgt
\[
\frac{\diff}{\diff t}\begin{pmatrix}
\scalar{v}{v}\\
\scalar{n}{n}\\
\scalar{b}{b}\\
\scalar{b}{v}\\
\scalar{b}{n}\\
\scalar{n}{v}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0&2\kappa \\
0&0&0&0&2\tau&2\kappa \\
0&0&0&0&-2\tau&0 \\
0&0&0&0&\kappa&-\tau \\
0&-\tau&\tau&-\kappa&0&0 \\
-\kappa&\kappa&0&\tau&0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\scalar{v}{v}\\
\scalar{n}{n}\\
\scalar{b}{b}\\
\scalar{b}{v}\\
\scalar{b}{n}\\
\scalar{n}{v}
\end{pmatrix} \tag{$*$}
\]
Es gilt für $e_1 = v$, $e_2 = n$ und $e_3 = b$: $\scalar{e_i(t_0)}{e_j(t_0)} = \delta_{ij}$. Nun löst $\scalar{e_i(t)}{e_j(t)} = \delta_{ij}$ für alle $t\in I$ die Differentialgleichung $(*)$, also ist $(v(t),n(t),b(t))$ für alle $t\in I$ eine Orthonormalbasis von $\mathbb R^3$. Es gilt $\det(v(t_0),n(t_0),b(t_0))  > 0$, also wegen Stetigkeit auch $\det(v(t),n(t),b(t)) > 0$ für alle $t\in I$, d.h. $(v(t),n(t),b(t))$ ist sogar positiv orientiert für alle $t\in I$. Also ist $\gamma\colon I\to\mathbb R^3$ nach Bogenlänge parametrisiert mit begleitendem Dreibein $(v(t),n(t),b(t))$, der Krümmung $\kappa$ und der Torsion $\tau$.

Ist $\tilde\gamma\colon I\to\mathbb R^3$ eine weitere nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit Krümmung $\kappa$ und Torsion $\gamma$ und begleitendem Dreibein $(\tilde v, \tilde n, \tilde b)$, so existiert eine orientierungserhaltende Bewegung $\phi\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3$, $\phi(x) = Ax + b$, $A\in SO(3)$, $b\in\mathbb R^3$ mit $Av(t_0) = \tilde v(t_0)$, $An(t_0) = \tilde n(t_0)$, $Ab(t_0) = \tilde b(t_0)$ und $-b = \tilde\gamma(t_0)$. Damit folgt $\tilde \gamma = A\circ\gamma$.
\end{proof}

%TODO:erste halbe stunde 24.5.11

\section{Lokale Flächentheorie}
\subsection{Untermannigfaltigkeiten in $\mathbb R^n$}
\begin{definition}
Eine Teilmenge $M\subseteq \mathbb R^n$ heißt $m$-dimensionale \emph{Untermannigfaltigkeit} der Klasse $\mathscr C^k$ mit $k\in\mathbb N\cup\{\infty\}$, falls es für jedes $p\in M$ offene Teilmengen $U,V\subseteq\mathbb R^n$ mit $p\in U$ und einen $\mathscr C^k$-Diffeomorphismus $\phi\colon U\to V$ gibt mit $\phi(U\cap M) = V\cap (\mathbb R^m\times\{0\})$. Anschaulich ist $M$ ``lokal flach''. $\phi$ heißt \emph{Untermannigfaltigkeitskarte} von $M$ um $p$, und $\varphi = \phi|_{U\cap M}\colon U\cap M\to V\cap (\mathbb R^m\times\{0\})$ heißt \emph{Karte} von $M$ um $p$.
\end{definition}

\begin{definition}
Sei $M\subseteq\mathbb R^n$ eine Untermannigfaltigkeit und $p\in M$. Sei $\phi\colon U\to V$ eine Untermannigfaltigkeitskarte um $p$. Dann heißt der lineare Unterraum $\big(D\phi(p)\big)^{-1}(\mathbb R^m)$ \emph{Tangentialraum} von $M$ an $p$ und wird mit $T_pM$ bezeichnet. Schreibt man $\mathbb R^n = \mathbb R^m\times\mathbb R^{n-m}$ und sind $e_i$, $i=1,\dots,m$ die ersten $m$ Einheitsvektoren, so wird $T_pM$ von $\big(D\phi(p)\big)^{-1}e_i$, $i=1,\dots,m$, aufgespannt.
\end{definition}

\begin{remark}[Geometrische Beschreibung des Tangentialraums]
Es gilt
\[
T_pM = \{\gamma'(0)\colon \gamma\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to M\text{ differenzierbar mit $\gamma(0) = p$}\},
\]
denn sei $v\in T_pM$. Betrachte $x = \big(D\phi(p)\big)v \in \mathbb R^m\times\{0\}$. Dann ist $v = \left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} \phi^{-1}\big(\phi(p) + tx\big)$ und $\phi^{-1}\big(\phi(p) + tx\big)\in M$ für genügend kleine $t$. Ist andersherum $\gamma\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$, $\gamma(0) = p$, so gilt $\left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0}\phi(\gamma(t)) = w\in\mathbb R^m\times\{0\}$, also $\gamma'(0) = \big(D\phi(p)\big)^{-1}w\in T_pM$.
\end{remark}

%\setcounter{theorem}{0}
\begin{theorem}
Sei $M\subseteq\mathbb R^n$. Es sind äquivalent:
\begin{enumerate*}
\vspace{-.75em}
\item $M$ ist eine $m$-dimensionale $\mathscr C^k$-Untermannigfaltigkeit.
\item Für alle $p\in M$ existiert eine offene Menge $U\subseteq\mathbb R^n$, $p\in U$, und $F\colon U\to\mathbb R^{n-m}$ der Klasse $\mathscr C^k$, $F = (f_1,\dots,f_{n-m})$, mit $DF(x)$ surjektiv für alle $x\in U$ (d.h. $(\grad f_i)(x)$ sind linear unabhängig), so dass $U\cap M = F^{-1}(0)$. Eine $\mathscr C^k$-Abbildung $F\colon U\to\mathbb R^{n-m}$ mit $DF(x)$ surjektiv für alle $x\in U$ heißt \emph{Submersion}.
\item Für alle $p\in M$ existieren offene $U\subseteq\mathbb R^m$, $V\subseteq \mathbb R^n$, $p\in V$ und $F\colon U\to\mathbb R^n$ der Klasse $\mathscr C^k$ mit
\begin{enumerate}[(i)]
\smallspace
\item $DF(x)$ ist injektiv für alle $x\in U$.
\item $V\cap M = F(U)$.
\item $F\colon U\to V\cap M$ ist ein Homöomorphismus.
\end{enumerate}
Eine $\mathscr C^k$-Abbildung $F\colon U\to\mathbb R^n$ mit (i), (ii) und (iii) heißt \emph{lokale Parametrisierung} von $M$.
\end{enumerate*}
\end{theorem}
\begin{proof}\
\begin{itemize}
\smallspace
\item[$1\Rightarrow 2$] Gegeben einen Diffeomorphismus $\phi\colon U\to V$  und $\phi(U\cap M) = V\cap \mathbb R^m$, schreibe $\phi=(f_1,\dots,f_m,f_{m+1},\dots,f_n)$ und setze $F = (f_{m+1},\dots,f_n)$. Für $x\in U$ gilt dann $F(x) = 0$ genau dann, wenn $x\in M$, und
\[
D\phi(x) = \begin{pmatrix}
\pdiff{f_1}{x_1}(x) & \hdots & \pdiff{f_1}{x_n}(x) \\
\vdots & & \vdots \\
\pdiff{f_n}{x_1}(x) & \dots & \pdiff{f_n}{x_n}(x)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\grad f_1(x) \\
\vdots \\
\grad f_n(x)
\end{pmatrix}
\]
ist invertierbar für alle $x\in U$, insbesondere sind $\grad f_{m+1}(x),\dots,\grad f_n(x)$ linear unabhängig.
\item[$2\Rightarrow 1$] Sei $F\colon U\to\mathbb R^{n-m}$ gegeben mit $F^{-1}(0) = U\cap M$ und $DF(x)$ surjektiv für alle $x\in U$. Ohne Einschränkung seien $DF(p)e_i$, $i=m+1,\dots,n$, linear unabhängig. Setze $\phi(x) = (x_1,\dots,x_m, F(x))$. Dann ist
\[
D\phi(x) = \left(\begin{array}{c|c}
E_m & 0\\ \hline
\multicolumn{2}{c}{DF(x)}
\end{array}\right) %TODO
\]
invertierbar, also existieren offene $U'\subseteq U$, $V'\subseteq\mathbb R^n$ so dass $\phi|_{U'}\colon U'\to V'$ ein Diffeomorphismus ist. Weiterhin gilt $\phi(U'\cap M) = V'\cap \mathbb R^m$.
\item[$1\Rightarrow 3$] Gegeben sei ein Diffeomorphismus $\phi\colon U\to V$  mit $\phi(U\cap M) = V\cap \mathbb  R^m$. Setze $\varphi = \phi|_{U\cap M}\colon U' =U\cap M\to V\cap\mathbb R^m = V'$ und $F = \phi^{-1}|_{V'}\colon V'\to U'$. Dann gilt $F = \varphi^{-1}$, d.h. $F\colon V'\to U'$ Homöomorphismus. Weiterhin ist
\[
D\phi^{-1}(x) = \left(\begin{array}{c|c}
DF(x) & *
\end{array}\right)
\]
invertierbar nach Voraussetzung. Insbesondere $DF(x)e_i$, $i=1,\dots,m$ linear unabhängig, d.h. $DF(x)$ injektiv.
\item[$3\Rightarrow 1$] Gegeben sei eine lokale Parametrisierung $F\colon U\to\mathbb R^n$ von $M$ um $p$. Sei $F(x_0) = p$. Ohne Einschränkung sei $DF(x_0)e_i = e_i$, $i=1,\dots,m$, inbesondere $DF(x_0)(\mathbb R^m)\subseteq \mathbb R^m$. Setze $\psi(x) = F(x_1,\dots,x_m) + (0,\dots,0,x_{m+1},x\dots,x_n)$ mit $x = (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n$, d.h. $\psi\colon U\times\mathbb R^{n-m}\to\mathbb R^n$. Es gilt
\[
D\psi(x_0) = \left(\begin{array}{c|c}
DF(x_0) & 0 \\ \hline
0 & E_{m-n}
\end{array}\right)
\]
d.h. $DF(x_0)$ ist invertierbar. Also existieren nach dem lokalen Umkehrsatz offene $U',V'\subseteq\mathbb R^n$, $(x_0,0)\in U'$, $p\in V'$, so dass $\psi|_{U'}\colon U'\to V'$ ein Diffeomorphismus ist. Sei $\phi\colon V'\to U'$ die Umkehrabbildung. Dann gilt $\phi(V'\cap M) = U'\cap\mathbb R^m$, denn zu $y\in V'\cap M$ existiert genau ein $(x_1,\dots,x_m)$ mit $F(x_1,\dots,x_m) = y$, d.h. $y = \psi(x_1,\dots,x_m,0,\dots,0)$, d.h. $\phi(y) = (x_1,\dots,x_m,0,\dots,0)$.\qedhere
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{remark}
Die Halbstetigkeit des Ranges impliziert für $F\in\mathscr C^1(\mathbb R^n,\mathbb R^{n-m})$ mit $DF(x_0)$ surjektiv, dass $DF(x)$ für $x$ in einer Umgebung von $x_0$ surjektiv ist, und für $F\in\mathscr C^1(\mathbb R^m,\mathbb R^n)$ mit $DF(x_0)$, dass $DF(x)$ für $x$ in einer Umgebung von $x_0$ injektiv ist.
\end{remark}

\begin{remark}
$T_pM = (D\phi(x))^{-1}(\mathbb R^m)$ für eine Untermannigfaltigkeitskarte $\phi\colon U\to V$ um $p$. Im Falle der Charakterisierung 2 aus Satz 1 gilt $T_p M = \ker DF(p)$ und im Falle der Charakterisierung 3 gilt $T_pM = \im DF(x_0)$.
\end{remark}

\begin{remark}
Ist $f\colon U\to\mathbb R^{n-m}$ differenzierbar von der Klasse $\mathscr C^k$, dann ist $\Graph f$ eine $m$-dimensionale Untermannigfaltigkeit, denn $F\colon U\to\Graph f, x\mapsto (x,f(x))$ ist ein Homöomorphismus mit
\[
DF(x) = \begin{pmatrix}
1 & & \\
 &\ddots & \\
& & 1 \\ \hline
DF(x)e_1 & \hdots & DF(x)e_n
\end{pmatrix}
\]
injektiv.
\end{remark}

\begin{remark}
Untermannigfaltigkeiten sind lokal als Graph darstellbar.
\end{remark}

\subsection{Flächen}
\begin{definition}
Eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit im $\mathbb R^3$ heißt (eingebettete) \emph{Fläche}.
\end{definition}

\begin{convention}
Untermannigfaltigkeiten seien ab jetzt Untermannigfaltigkeiten der Klasse $\mathscr C^k$, $k\in\mathbb N\cup\{\infty\}$ und differenzierbar heiße $\mathscr C^k$.
\end{convention}

\begin{example}
$S^2\subseteq\mathbb R^3$ ist eine Fläche, denn betrachte $f\colon\mathbb R^3\to \mathbb R, x\mapsto \|x\|^2-1$. Dann ist $S^2 = f^{-1}(0)$ und $\grad f(x) = 2x$ für $x\in\mathbb R^3$, also $\grad f(x) \neq 0$. Weiterhin gilt $T_pS^2 = \ker Df(p) = \grad f(p)^\perp = p^\perp$.
\end{example}

\begin{definition}
Sei $S\subseteq \mathbb R^3$ eine Fläche. Eine Abbildung $f\colon W\to S$, $W\subseteq \mathbb R^n$ offen, heißt \emph{differenzierbar}, falls $f$ aufgefasst als Abbildung $f\colon W\to\mathbb R^n$ differenzierbar ist. $f\colon S\to\mathbb R^n$ heißt \emph{differenzierbar um $p\in S$}, falls ein offenes $W\subseteq \mathbb R^3$ mit $p\in W$ und ein differenzierbares $\tilde f\colon W\to\mathbb R^n$ mit $\tilde f|_{W\cap S} = f|_{W\cap S}$ existiert. $f$ heißt \emph{differenzierbar}, falls $f$ um alle $p\in S$ differenzierbar ist.
\end{definition}

\begin{remark}
Sei $p\in S$ und $F\colon U\to V\cap S$ lokale Parametrisierung um $p$. Dann ist $F$ differenzierbar und $F^{-1}\colon V\cap S\to U$ ist differenzierbar um $p$.
\end{remark}

\begin{remark}
Sei $S\subseteq \mathbb R^3$ eine Fläche, $W\subseteq \mathbb R^3$ offen. Dann ist $W\cap S$ eine Fläche. Nach Satz 1.1 existiert ein Diffeomorphismus $\phi\colon W\to \phi(W)$ mit $p\in W$, $W\cap S\subseteq V\cap S$, so dass $\phi|_{W\cap S}(x) = \big(F^{-1}|_{W\cap S}(x), 0\big)$. Dann ist $F^{-1}|_{W\cap S} = \phi_{\mathbb R^2}\circ\phi|{W\cap S}$, d.h. $\pi_{\mathbb R^2}\circ\phi|_W\colon W\to\mathbb R^2$ ist differenzierbar.
\end{remark}

\begin{remark}
Ist $p\in S$ und sind $F_i\colon U_i\to V_i\cap S$, $i=1,2$, zwei lokale Parametrisierungen um $p$, d.h. $p\in V_1\cap V_2$, so ist der \emph{Parametrisierungswechsel} $F_2^{-1}\circ F_1 |_{F_1^{-1}(V_1\cap V_2)}\colon F_1^{-1}(V_1\cap V_2)\to F_2^{-1}(V_1\cap V_2)$ ein Diffeomorphismus.
\end{remark}

\begin{theorem}
Für $f\colon W\to S$, $W\subseteq \mathbb R^n$ offen, sind äquivalent:
\begin{enumerate}
\smallspace
\item $f$ ist differenzierbar um $x_0\in W$.
\item Es gibt eine lokale Parametrisierung $F\colon U\to V\cap S$ um $p=f(x_0)$, so dass $F^{-1}\circ f|_{f^{-1}(V)}$ differenzierbar um $x_0$ ist.
\item Für alle lokalen Parametrisierungen $F\colon U\to V\cap S$ um $p$ ist $F^{-1}\circ f|_{f^{-1}(V)}$ differenzierbar um $x_0$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}\
\begin{itemize}
\smallspace
\item [$1\Rightarrow 3$] Für jede lokale Parametrisierung $F$ um $p$ ist $F^{-1}\colon V\cap S\to S$ differenzierbar um $p$, also ist $f\circ F^{-1}|_{f^{-1}(V)}$ differenzierbar um $x_0$.
\item[$3\Rightarrow 2$] Ist klar.
\item[$2\Rightarrow 1$] $f|_{f^{-1}(V)} = F\circ F^{-1}\circ f|_{f^{-1}(V)}$ ist differenzierbar um $x_0$.\qedhere
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{lemma}
Sei $S\subseteq \mathbb R^3$ eine Fläche. Für eine Abbildung $f\colon S\to\mathbb R^n$ sind äquivalent:
\begin{enumerate}
\smallspace
\item $f$ ist differenzierbar um $p\in S$.
\item Es existiert eine lokale Parametrisierung $F\colon U\to S\cap V$ um $p$, so dass $f\colon F\colon U\to\mathbb R^n$ differenzierbar um $x_0 = F^{-1}(p)$ ist.
\item Für alle lokalen Parametrisierungen $F$ um $p$ ist $f\circ F$ differenzierbar um $x_0$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}\
\begin{itemize}
\smallspace
\item[$1\Rightarrow 3$] Nach Voraussetzung existiert ein offenes $W\subseteq \mathbb R^3$ mit $p\in W$ und differenzierbares $\tilde f\colon W\to\mathbb R^n$ mit $\tilde f|_{W\cap S} = f|_{W\cap S}$. Ist $F$ irgendeine lokale Parametrisierung um $p$, so ist $F\colon U\to V\cap S\subseteq\mathbb R^4$ differenzierbar und $f\circ F|_{F^{-1}(W)} = \tilde f\circ F|_{F^{-1}(W)}$, $\tilde f$ und $F|_{F^{-1}(W)}$ sind differenzierbar, also $\tilde f\circ F|_{F^{-1}(W)}$ differenzierbar. Also ist $f\circ F$ differenzierbar um $x_0$.
\item[$3\Rightarrow 1$] Sei $\phi\colon W\to\phi(W)$ eine Untermannigfaltigkeitenkarte um $p$, d.h. ein Diffeomorphismus mit $\phi(W\cap S) = \phi(W)\cap\mathbb R^2$. Dann ist also $F = \phi^{-1}|_{\phi(W)\cap \mathbb R^2}\colon \phi(W)\cap\mathbb R^2\to W\cap S$ eine lokale Parametrisierung um $p$. Nach Voraussetzung ist $f\circ F\colon \phi(W)\cap \mathbb R^2\to \mathbb R^n$ differenzierbar um $\phi(p)$. Dann ist $\tilde f = f\circ F\circ\pi_{\mathbb R^2}\circ\phi\colon W\to \mathbb R^n$ differenzierbar mit $\tilde f|_{W\cap S} = f|_{W\cap S}$, d.h. $f$ ist differenzierbar um $p$.
\item[$3\Rightarrow 2$] Ist klar.
\item[$2\Rightarrow 3$] Seien $F_i\colon U_i\to V_i\cap S$, $i=1,2$, lokale Parametrisierungen um $p$. Dann gilt: $f\circ F_1|_{F_1(V_1\cap V_2)} = f\circ F_2 \circ F_2^{-1}\circ F_1|_{F^{-1}(V_1\cap V_2)}$, bzw. $f\circ F_2|_{F_2^{-1}(V_1\cap V_2)} = f\circ F_1\circ F_1^{-1}\circ F_2|_{F_2^{-1}(V_1\cap V_2)}$. Also ist $f\circ F_1$ differenzierbar um $F_1^{-1}(p)$ genau dann, wenn $f\circ F_2$ differenzierbar um $F_2^{-1}(p)$ ist.\qedhere
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{remark}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine Fläche. Ist $f\colon W\to S$, $W\subseteq\mathbb R^n$ offen, differenzierbar, $f(x_0) = p$, so gilt $\im Df(x_0) \subseteq T_pS$, d.h. $Df(x_0)$ vermittelt eine lineare Abbildung $Df(x_0)\colon \mathbb R^n\to T_pS$.
\end{remark}

\begin{remark}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine Fläche. Ist $f\colon S\to \mathbb R^n$ differenzierbar, so ist $Df(p) := D\tilde f(p)|_{T_pS}\colon T_pS\to\mathbb R^n$ unabhängig von der Ausdehnung $\tilde f\colon W\to\mathbb R^n$, $W\subseteq \mathbb R^3$ offen, $p\in W$, denn ist $v\in T_pM$ gegeben durch $v = \gamma'(0)$, $\gamma\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$, $\gamma(0) = p$, so gilt
\[
D\tilde f(p)(v) = \left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0}(\tilde f\circ\gamma)(t) = \left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} (f\circ\gamma)(t).
\]
\end{remark}

\begin{definition}
$Df(x_0)\colon \mathbb R^n\to T_pS$ (bzw. $Df(p)\colon T_pS\to\mathbb R^n$) heißt das \emph{Differential} von $f\colon W\to S$ in $x_0$ (bzw. von $f\colon S\to\mathbb R^n$ in $p$).
\end{definition}

Wir betrachten jetzt Abbildungen $f\colon S_1\to S_2$ zwischen Flächen $S_1,S_2\subseteq\mathbb R^3$.

\begin{definition}
Eine Abbildung $f\colon S_1\to S_2$ heißt \emph{differenzierbar} um $p_1\in S_1$, falls $f$ aufgefasst als Abbildung $f\colon S_1\to\mathbb R^3$ differenzierbar um $p_1$ ist.
\end{definition}

\begin{remark}
Ist $f\colon S_1\to S_2$ differenzierbar um $p_1\in S_1$, so gilt $\im Df(p_1)\subseteq T_{p_2}S_2$, falls $f(p_1) = p_2$.
\end{remark}

\begin{definition}
Die lineare Abbildung $Df(p_1)\colon T_{p_1}S_1\to T_{p_2}S_2$ heißt das \emph{Differential} von $f\colon S_1\to S_2$ in $p_1$, wobei $p_2 = f(p_1)$.
\end{definition}

\begin{definition}
Eine differenzierbare und bijektive Abbildung $f\colon S_1\to S_2$ zwischen Flächen $S_1,S_2\subseteq\mathbb R^3$ heißt \emph{Diffeomorphismus}.
\end{definition}
\begin{remark}
Ist $f\colon S_1\to S_2$ ein Diffeomorphismus so ist nach dem lokalen Umkehrsatz $f^{-1}\colon S_2\to S_1$ differenzierbar.
\end{remark}

\subsection{Erste und zweite Fundamentalform}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine Fläche. Es bezeichne $\scalar{\cdot}{\cdot}_{\mathbb R^3}$ das euklidische Skalarprodukt auf $\mathbb R^3$. Dann definiert für $p\in S$
\[
g_p(v,w) = \scalar{v}{w}_{\mathbb R^3},\quad v,w\in T_pS
\]
ein Skalarprodukt auf $T_pS$.

\begin{definition}
$g_p\colon T_pS\times T_pS\to\mathbb R$ heißt \emph{1. Fundamentalform} von $S$ in $p\in S$.
\end{definition}

Sei $f\colon \mathbb R^2\supseteq U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung von $S$ in $p$, $F = (F_1,F_2,F_3)$. Dann bilden
$\pdiff{F}{x_i}(x) = DF(x)(e_i)$, $i=1,2$, eine Basis von $T_{F(x)}S$ für alle $x\in U$. In diesem Sinne hängt $T_pS$ glatt von $p$ ab. Wir setzen $g_{ij}(x) = g_{F(x)}{\left(\pdiff{F}{x_i}, \pdiff{F}{x_j}\right)}$ für $i,j=1,2$. Sind $v,w\in T_{F(x)}S$ gegeben, so können wir schreiben:
\[
v = \sum_{i=1}^2 v_i \pdiff{F}{x_i}(x),\quad w = \sum_{i=1}^2 w_i\pdiff{F}{x_i}(x)
\]
Damit gilt
\[
g_{F(x)}(v,w) = \sum_{i,j=1}^2 v_i w_j g_{ij}(x)
\]

\begin{remark}
Ist $F\colon U\to V\cap S$ differenzierbar von der Klasse $\mathscr C^{k+1}$, so sind die Komponentenfunktionen $g_{ij}\colon U\to\mathbb R$ differenzierbar von der Klasse $\mathscr C^k$. In diesem Sinne ist $(g_p\colon T_p\times T_p\to\mathbb R)_{p\in S}$ eine ``differenzierbar'' von $p\in S$ abhängige Familie von Skalarprodukten auf den Tangentialräume $T_pS$.
\end{remark}

\begin{remark}
Die 1. Fundamentalform ermöglicht es, \emph{Längen} und \emph{Winkel} auf $S$ zu messen: Ist $\gamma\colon [a,b]\to S$ eine $\mathscr C^1$-Kurve, so sei
\[
L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|_{\gamma(x)}\dd t
\]
mit $\|v\|_p = \sqrt{g_p(v,v)}$ die Länge von $\gamma$. Sind $\gamma_i\colon I\to S^2$, $i=1,2$, reguläre $\mathscr C^1$-Kurven mit $\gamma_i(t_0) = p\in S$, $\gamma_i'(t_0) \neq 0$, so sei durch
\[
\cos\alpha = \frac{g_p\big(\gamma_1'(t_0), \gamma_2'(t_0)\big)}{\|\gamma_1'(t_0)\|_p \|\gamma_2'(t_0)\|_p}
\]
der Winkel $\alpha\in[0,\pi]$ zwischen $\gamma_1$ und $\gamma_2$ in $p$, bzw. $\gamma_1'(t_0)$ und $\gamma_2'(t_0)$ in $T_pS$ definiert.
\end{remark}

\begin{remark}[Verhalten der Komponentenfunktionen $g_{ij}$ unter Parametrisierungswechsel]
Seien $F\colon U\to V\cap S$, $\tilde F\tilde U\to\tilde V\cap S$ lokale Parametrisierungen von $S$ mit $V\cap \tilde V\neq\emptyset$ und
\begin{align*}
\tilde F^{-1}\circ F|_{F^{-1}(V\cap\tilde V)}&\colon F^{-1}(V\cap\tilde V)\to\tilde F^{_1}(V\cap\tilde V) \\
F^{-1}\circ \tilde F|_{F^{-1}(V\cap\tilde V)}&\colon \tilde F^{-1}(V\cap\tilde V)\to F^{_1}(V\cap\tilde V)
\end{align*}
die Parametrisierungswechsel, so gilt ($F(x) = \tilde x$, $\tilde F(x) = \tilde x$)
\[
\tilde g_{ij}|_{\tilde F^{-1}(V\cap\tilde V)}(\tilde x) = \sum_{k,l=1}^2 \pdiff{(F^{-1}\circ\tilde F)_k}{x_i}(\tilde x)\pdiff{(F^{-1}\circ\tilde F)_l}{x_j}(\tilde x) g_{kl}|_{F^{-1}(V\cap\tilde V)}(x)
\]
\end{remark}

\begin{example}[Ebene]
Seien $v,w\in\mathbb R^3$ und $x_0\in\mathbb R^3$. Durch $F\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^3, (\lambda,\mu)\mapsto x_0 + \lambda v + \mu w$ wird eine Ebene $S\subseteq\mathbb R^3$ parametrisiert. Es gilt $\pdiff{F}{\lambda} = v$ und $\pdiff{F}{\mu} = w$, also mit $x_1 = \lambda$, $x_2=\mu$
\[
\big(g_{ij}(x)\big)_{ij} = \begin{pmatrix}
\scalar{v}{v} & \scalar{v}{w} \\
\scalar{w}{v} & \scalar{w}{w}
\end{pmatrix}
\]
Ist $\{v,w\}$ als Orthonormalsystem gewählt, so gilt also
\[
\big(g_{ij}(x)\big)_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
\end{example}

\begin{example}[Zylindermantel vom Radius $R>0$]
Sei $S = \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\colon x_1^2 + x_2^2 = R^2\}$. Eine lokale Parametrisierung ist durch $F\colon \mathbb R\times(0,2\pi)\to\mathbb R^3\setminus \{x_1\geq 0, x_2 = 0\}\cap S, (z,\theta)\mapsto (R\cos\theta, R\sin\theta, z)$ gegeben. Es gilt $\pdiff{F}{z}(z,\theta) = (0,0,1)$ und $\pdiff{F}{\theta}(z,\theta) = (-R\sin\theta, R\cos\theta, 0)$. Also ist
\[
\big(g_{ij}(x)\big)_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & R^2
\end{pmatrix}
\]
Für $R=1$ hat also der Zylindermantel die gleiche Fundamentalform wie die Ebene.
\end{example}

\begin{example}[Sphäre vom Radius $R>0$]
Eine lokale Parametrisierung von $S = \{p\in\mathbb R^3\colon \|p\|^2 = R^2\}$ ist gegeben durch ($V = \mathbb R^3\setminus\{x_1\geq 0, x_2= 0\}$)
\[
F\colon \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\times (0,2\pi)\to V\cap S, (\varphi,\theta)\mapsto \begin{pmatrix}
R\cos\varphi \cos\theta \\
R\cos\varphi\sin\theta \\
R\sin\varphi
\end{pmatrix}
\]
Es gilt
\begin{align*}
\pdiff{F}{\varphi}(\varphi,\theta) &= \begin{pmatrix}
-R\sin\varphi\cos\theta\\ -R\sin\varphi \sin\theta\\ R\cos\varphi
\end{pmatrix} \\
\pdiff{F}{\theta}(\varphi,\theta) &= \begin{pmatrix}
-R\cos\varphi\sin\theta \\
R\cos\varphi\cos\theta \\
0
\end{pmatrix}
\end{align*}
Es gilt also
\[
\big(g_{ij}(x)\big)_{ij} = \begin{pmatrix}
R^2 & 0 \\
0 & R^2\cos^2\varphi
\end{pmatrix}
\]
\end{example}

\begin{definition}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine Fläche. Ein \emph{Normalenfeld} auf $S$ ist eine Abbildung $N\colon S\to\mathbb R^3$ mit $N(p)\perp T_pS$ für alle $p\in S$. Ein Normalenfeld heißt \emph{Einheitsnormalenfeld}, falls weiterhin $\|N(p)\|_{\mathbb R^3} = 1$ für alle $p\in S$ gilt.
\end{definition}

\begin{definition}
Eine Fläche $S\subseteq\mathbb R^3$ heißt \emph{orientierbar}, falls ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf $S$ existiert.
\end{definition}

\begin{example}[Ebene]
Mit den Notationen von oben definiert $N(p) = v\times w$ für alle $p\in S$ ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf $E_{x_0,v,w}$.
\end{example}

\begin{example}[Sphäre vom Radius $R>0$]
Mit den Notationen von oben definiert $N(p) = \frac{1}{R}p$ für alle $p\in S$ ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf $S^2_R$.
\end{example}

\begin{example}[Zylindermantel vom Radius $R>0$]
Mit den Notationen von oben definiert $N(x_1,x_2,x_3) = \frac{1}{R}(x_1,x_2,0)$ ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf $Z_R$.
\end{example}

\begin{example}
Das Möbiusband ist nicht orientarbar (Übung).
\end{example}

\begin{definition}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche mit Einheitsnormalenfeld $N$, $p\in S$ und $\{e_1,e_2\}$ eine Basis von $T_pS$. $\{e_1,e_2\}$ heiße \emph{positiv orientiert}, wenn $\{e_1,e_2,N(p)\}$ eine positiv orientierte Basis von $\mathbb R^3$ ist.
\end{definition}

\begin{remark}
Lokal ist jede Fläche orientierbar, denn ist $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung, so ist $\left\{\pdiff{F}{x_1}(x), \pdiff{F}{x_2}(x)\right\}$ eine Basis von $T_{F(x)}S$ für alle $x\in U$. Dann ist $\tilde N(F(x)) = \pdiff{F}{x_1}(x)\times \pdiff{F}{x_2}(x)\perp T_{F(x)}S$ für alle $x\in U$. Mit $N(F(x)) = \tilde N(F(x)) / \|\tilde N(F(x))\|$ wird $N$ ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf $V\cap S$, d.h. $V\cap S$ ist orientierbar.
\end{remark}

\begin{definition}
Sei $S\subseteq \mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche mit Einheitsnormalenfeld $N$. Die Abbildung
\[
N\colon S\to S^2
\]
heißt \emph{Gauß-Abbildung} von $S$.
\end{definition}

\begin{remark}
Für $p\in S$ ist
\[
DN(p)\colon T_pS\to T_{N(p)}S^2 = N(p)^\perp = T_pS
\]
ein Endomorphismus von $T_pS$.
\end{remark}

\begin{definition}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche von der Klasse $\mathscr C^k$ mit $k\geq 2$ mit Einheitsnormalenfeld $N$. Der Endomorphismus
\[
W_p = - DN(p)\colon T_pS\to T_pS
\]
heißt \emph{Weinbergabbildung} von $S$ in $p\in S$.
\end{definition}

\begin{example}[Ebene]
Sei $\{v,w\}$ eine Orthonormalsystem in $\mathbb R^3$ und $E_{x_0,v,w} = \{x_0 + \lambda v + \mu w\colon \lambda,mu\in\mathbb R\}$, $N(p) = v\times w$ konstant. Dann ist $W_p = -DN(p) = 0$ für alle $p\in E_{x_0,v,w}$.
\end{example}

\begin{example}[Zylindermantel vom Radius $R>0$]
Mit dem Einheitsnormalenfeld $N(p) = \frac{1}{R}(x_1,x_2,0)$ mit $p = (x_1,x_2,x_3)$ ist $N = \frac{1}{R}\cdot\pi_{\mathbb R^2}\colon Z_R\to S^2$. $T_pZ_R$ hat als Basis
\[
\left\{
\begin{pmatrix}
-x_2\\ \phantom{-}x_1 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\right\}
\]
für $p = (x_1,x_2,x_3)$ und bezüglich dieser Basis gilt
\[
W_p = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{R} & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\end{example}

\begin{example}[Sphäre vom Radius $R>0$]
Mit dem Einheitsnormalenfeld $N(p) = \frac{1}{R}p$ ist $N = \frac{1}{R}\colon S_R^2\to S^2$ und $W_p = -DN(p) = -\frac{1}{R}\id_{T_pS_R^2}$.
\end{example}

%\setcounter{theorem}{0}
\begin{theorem}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche von der Klasse $\mathscr C^k$ mit $k\geq 2$ mit Einheitsnormalenfeld $N$. Dann ist die Weingartenabbildung $W_p\colon T_pS\to T_pS$ selbstadjungiert bezüglich der 1. Fundamentalform $g_p$, d.h. für alle $v,w\in T_pS$ gilt
\[
g_p(W_p(v), w) = g_p(v, W_p(w))
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Sei $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung um $p$. Setze $X_i = \pdiff{F}{x_i}(x)$ für $i=1,2$, $F(x) = p$. Dann gilt für $t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$
\[
\scalar{\pdiff{F}{x_i}(x + te_j)}{N(F(x+te_j))}_{\mathbb R^3} = 0
\]
Also folgt
\begin{align*}
0 &= \left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} \scalar{\pdiff{F}{x_i}(x + te_j)}{N(F(x+te_j))}_{\mathbb R^3} \\
&= \scalar{\frac{\partial^2 F}{\partial x_j \partial x_i}(x)}{N(p)}_{\mathbb R^3} + \scalar{X_i}{DN(p)(X_j)}_{\mathbb R^3}
\end{align*}
Also ist
\begin{align*}
\scalar{X_i}{W_p(X_j)}_{\mathbb R^3} &= \scalar{\frac{\partial^2 F}{\partial x_j \partial x_i}(x)}{N(p)}_{\mathbb R^3}\tag{$*$} \\
&=\scalar{\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j}(x)}{N(p)}_{\mathbb R^3} = \scalar{X_j}{W_p(X_i)}_{\mathbb R^3}
\end{align*}
Mit anderen Worten $g_p(W_p(X_i), X_j) = g_p(X_i, W_p(X_j))$. Da $\{X_1,X_2\}$ eine Basis von $T_pS$ ist, folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{definition}
Die durch $h_p(v,w) = g_p(v, W_p(w))$, $v,w\in T_pS$, definierte symmetrische Bilinearform $h_p\colon T_pS\times T_pS\to\mathbb R$ heißt 2. Fundamentalform von $S$ in $p$.
\end{definition}

\begin{remark}
Ist $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung, so sehen wir
\[
h_{ij}(x) = h_{F(x)}{\left(\pdiff{F}{x_i}(x), \pdiff{F}{x_j}(x)\right)}
\]
d.h. $\big(h_{ij}(x)\big)_{i,j}\in\mathbb R^{2\times 2}$ ist eine symmetrische $2\times 2$-Matrix für alle $x\in U$, die darstellende Matrix von $h_{F(x)}$ bezüglich der Basis $\left\{\pdiff{F}{x_i}(x), \pdiff{F}{x_j}(x)\right\}$ von $T_{F(x)}S$. Aus $(*)$ in dem Beweis von Satz 1 folgt
\[
h_{ij}(x) = \scalar{\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j}(x)}{N(F(x))}_{\mathbb R^3}
\]
\end{remark}

\begin{remark}
Für $\widetilde N = -N$ gilt $\widetilde W_p = -W_p$ und $\tilde h_p = -h_p$. Insbesondere ist also die Weingartenabbildung und die 2. Fundamentalform bis auf Vorzeichen auch auf nichtorientierbaren Flächen definiert.
\end{remark}

\subsection{Krümmung}

%\setcounter{theorem}{0}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche mit Einheitsnormalenfeld $N$ und $\gamma\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ nach Bogenlänge parametrisiert, $\gamma(0) = p$. Aufgefasst als Raumkurve hat $\gamma$ die Krümmung $\kappa(0) = \|\gamma''(0)\|_{\mathbb R^3}$, d.h. falls $\kappa(0)\neq 0$, so ist $\gamma''(0) = \kappa(0) n(0)$. Das Ziel ist die Aufspaltung $\kappa(0) = \kappa_{\text{nor}}(0) + \kappa_{\text{geod}}(0)$ in einen Anteil, der die Krümmung von $\gamma$ in $S$ misst (``geodätische Krümmung'') und einen Anteil, der von der Krümmung von $S$ in $\mathbb R^3$ herrührt (``Normalenkrümmung''). Setze dazu $n(0) = n(0)^{\parallel} + n(0)^\perp$ für $n(0)^\parallel\in T_pS$, $T_pS^\perp\ni n(0)^\perp = \scalar{n(0)}{N(p)}N(p)$. Entsprechend gilt $\gamma''(0) = \kappa(0)n(0)^\parallel + \kappa(0)\scalar{n(0)}{N(p)}_{\mathbb R^3} N(p)$.

\begin{definition}
Es heißt $\kappa_{\text{nor}}(0) = \scalar{\gamma''(0)}{N(p)}_{\mathbb R^3}$ die \emph{Normalenkrümmung} von $\gamma$ in $S$ für $t=0$.
\end{definition}

\begin{theorem}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine orientierte Fláche mit Einheitsnormalenfeld $N$. Sei weiterhin $\gamma\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit $\gamma(0) = p$. Dann gilt $\kappa_{\text nor} = h_p(\gamma'(0), \gamma'(0))$. Insbesondere hängt also $\kappa_{\text{nor}}$ nur von $\gamma'(0)\in T_pS$ ab.
\end{theorem}
\begin{proof}
Wegen $\gamma(t)\in S$ für alle $t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ gilt $\scalar{N(\gamma(t))}{\gamma'(t)}_{\mathbb R^3} = 0$ für alle $t\in (-\varepsilon,\varepsilon)$. Also gilt
\[
0 = \left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0}\scalar{N(\gamma(t))}{\gamma'(t)}_{\mathbb R^3} = \scalar{DN(p)\gamma'(0)}{\gamma'(0)}_{\mathbb R^3} + \scalar{N(p)}{\gamma''(0)}_{\mathbb R^3}
\]
Also $h_p(\gamma'(0),\gamma'(0)) = \kappa_{\text{nor}}(0)$.
\end{proof}

\begin{remark}
Für die Kurve $\tilde\gamma(t) = \gamma(-t)$ gilt $\tilde\kappa_{\text{nor}}(0) = \kappa_{\text{nor}}(0)$.
\end{remark}

\begin{remark}
Für die entgegengesetze Orientierung gegeben durch $\tilde N = -N$ gilt $\tilde \kappa_{\text{nor}}(0) = -\kappa_{\text{nor}}(0)$.
\end{remark}

\begin{remark}
Für $v\in T_pS$ betrachte die affine Ebene $E_{p,v,N(p)}$. Dann ist $E_{p,v,N(p)}\cap S$ (Übung) eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit. Sei also $\gamma\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to E_{p,v,N(p)}\cap S$ eine lokale Parametrisierung (nach Bogenlänge) so dass $\gamma(0) = p$, $\gamma'(0) = v$. Dann ist $h_p(v,v) = \kappa_{\text{nor}}(0)$ (Übung).
\end{remark}

\begin{definition}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche mit Einheitsnormalenfeld $N$. Die Eigenwerte $\kappa_1,\kappa_2\in\mathbb R$ der Weingartenabbildung $W_p\colon T_pS\to T_pS$ heißen \emph{Hauptkrümmungen} von $S$ in $p$. Ein zugehöriger Eigenvektor, d.h. $X_i\in T_pS$, $X_i\neq 0$, mit $W_p(X_i) = \kappa_i X_i$, heißt \emph{Hauptkrümmungsrichtung}. Ferner heißt $K(p) = \det W_p = \kappa_1\kappa_2\in\mathbb R$ die \emph{Gauß-Krümmung} von $S$ in $p$, sowie $H_p = \frac{1}{2}\tr W_p = \frac{1}{2}(\kappa_1+\kappa_2)\in\mathbb R$ die \emph{mittlere Krümmung} von $S$ in $p$.
\end{definition}

\begin{definition}
Eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve $\gamma\colon I\to S$ heißt \emph{Krümmungslinie}, falls $\gamma'(t)\in T_{\gamma(t)}S$ für alle $t\in I$ eine Hauptkrümmmung ist.
\end{definition}

\begin{remark}
Für $\widetilde N = -N$ gilt $\tilde\kappa_i = -\kappa_i$, $i=1,2$, und $\widetilde W_p(X_i) = \tilde \kappa_i X_i$, sowie $\widetilde K(p) = \tilde\kappa_1\tilde\kappa_2 = K(p)$. Insbesondere sind also Hauptkrümmungsrichtungen, bzw. Krümmungslinien, sowie die Gaußkrümmung auch auf nichtorientierbaren Flächen wohldefiniert.
\end{remark}

\begin{definition}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche mit Einheitsnormalenfeld $N$. Es heißt $p\in S$
\begin{itemize}
\smallspace
\item \emph{elliptisch}, wenn $K(p) > 0$.
\item \emph{hyperbolisch}, wenn $K(p) < 0$.
\item \emph{parabolisch}, wenn $K(p) = 0$, aber $W_p\neq 0$.
\item \emph{Flachpunkt}, wenn $W_p = 0$.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{example}[Ebene]
Sei $E_{x_0,v,w} =\{x_0 + \lambda v + \mu w\colon \lambda,\mu\in\mathbb R\}$ für $x_0\in\mathbb R^3$ und ein Orthonormalsystem $\{v,w\}$ in $\mathbb R^3$. Setze $N(p) = v\times w$ für alle $p\in E_{x_0,v,w}$, also $W_p = 0$. Also ist $\kappa_1 = \kappa_2 = K(p) = H(p) = 0$ für alle $p$ und alle Richtungen sind Hauptkrümmungsrichtungen, alle nach Bogenlänge parametrisierten Kurven $\gamma\colon I\to E_{x_0,v,w}$ sind Krümmungslinien.
\end{example}
\begin{example}[Zylindermantel $Z_R$ vom Radius $R$]
Sei jetzt $N(x_1,x_2,x_3) = -\frac{1}{R}(x_1,x_2,0)$. Dann ist
\[
W_p = \begin{pmatrix}
\frac{1}{R} & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\]
bezüglich der Basis $\{(-x_2,x_1,0), (0,0,1)\}$ von $T_pZ_R$. Also ist $\kappa_1 = \frac{1}{R}$ und $\kappa_2 = 0$, also $K(p) = 0$ und $H(p) = \frac{1}{2R}$. Also ist jeder Punkt $p\in Z_R$ parabolisch. $(-x_2,x_1,0)$ und $(0,0,1)$ sind Hauptkrümmungsrichtungen und Krümmungslinien sind vertikale Geradensegmente oder horizontale Kreissegmente.
\end{example}

\begin{example}[Sphäre $S^2_R$ vom Radius $R$]
Betrachte das nach Innen gerichtete Einheitsnormalenfeld $N(p) = -\frac{1}{R}p$. Dann ist $W_p = \frac{1}{R}\id_{T_pS_R^2}$, also $\kappa_1 = \kappa_2 = \frac{1}{R}$, $K(p) = \frac{1}{R^2}$ und $H(p) = \frac{1}{R}$. Also sind alle $p\in S_R^2$ elliptisch und jede Richtung ist Hauptkrümmungsrichtung, jede nach Bogenlänge parametrisierte Kurve in $S^2_R$ ist Krümmungslinie.
\end{example}

Die 2. Fundamentalform (bzw. die Weingartenabbildung) beschreibt die Fläche lokal um $p$ bis zur 2. Ordnung:

\begin{theorem}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche mit Einheitsnormalenfeld $N$. Seien $\kappa_1,\kappa_2$ die Hauptkrümmungen in $p\in S$, $X_1,X_2\in T_pS$ die Hauptkrümmungsrichtungen, so dass $\{X_1,X_2,N(p)\}$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis von $\mathbb R^3$ ist. Dann existiert eine lokale Parametrisierung $F\colon U\to V\cap S$ um $p$ mit
\[
F(x_1,x_2) = p + \sum_{i=1}^2 x_i X_i + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^2 x_i^2\kappa_i N(p) + o(\|x\|^2).
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Sei zunächst $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung mit $F(0) = p$, $\pdiff{F}{x_i}(0) = X_i$. Dann gilt
\[
F(x_1,x_2) = p + \sum_{i=1}^2 x_i X_i + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^2 x_i x_j\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j}(0) + o(\|x\|^2).
\]
Es ist $\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j}(0) = \scalar{\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j}(0)}{X_1}X_1 + \scalar{\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j}(0)}{X_2} X_2 + \scalar{\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j}(0)}{N(p)}N(p)$. Also
\begin{align*}
F(x_1,x_2) &= p + \sum_{k=1}^2 \underbrace{\left(x_k + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^2 \scalar{\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}(0)}{X_k}\right)}_{\tilde x_k} X_k + {}\\
&\phantom{=} {}+\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^2 x_ix_j\underbrace{\scalar{\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}(0)}{N(p)}}_{\kappa_i\delta_{ij}}N(p) + o(\|x\|^2)
\end{align*}
Betrachte nun $\phi(x_1,x_2) = \big(\tilde x_1(x_1,x_2), \tilde x_2(x_1,x_2)\big)$, $\phi\colon U\to\mathbb R^2$. Dann gilt
\[
D\phi(0) = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
und $\phi(0) = 0$. Also existiert eine lokale Umkehrung $\psi\colon \widetilde U\to \psi(\widetilde U)\subseteq U$ mit $D\psi(0) = \begin{smallpmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{smallpmatrix}$ und $\psi(0) = 0$. Sei $\widetilde F = F\circ \psi\colon \widetilde U\to\widetilde V\cap S$ mit $\widetilde V\subseteq\mathbb R^3$ offen. Dann gilt
\begin{align*}
\widetilde F(\tilde x_1,\tilde x_2) &= p + \sum_{k=1}^2\tilde x_k X_k + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^2 x_k(\tilde x_1, \tilde x_2)^2\kappa_k N(p) + o(\|x(\tilde x)\|^2) = \\
&= p + \sum_{k=1}^2 \tilde x_k X_k + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^2 \tilde x_k^2 \kappa_i N(p) + o(\|\tilde x\|^2)
\end{align*}
da $x(\tilde x) = \tilde x + o(\|\tilde x\|)$.
\end{proof}

\begin{remark}
Sei jetzt $Q(x_1,x_2) = p + \sum_{i=1}^2 x_i X_i + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^2 x_i^2 \kappa_i N(p)$ eine solche Approximation bis zur 2. Ordnung $p$. Ist $K(p) > 0$, so beschreibt $Q$ einen Paraboloid. Ist $K(p) < 0$, so beschreibt $Q$ eine Sattelfläche.
\end{remark}

\subsection{Integration und Flächeninhalt}

\begin{definition}
Sei $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung der Fläche $S\subseteq\mathbb R^3$. Eine Funktion $f\colon S\to\mathbb R$ mit $f|_{S\setminus V} = 0$ heißt \emph{integrierbar}, falls die Funktion $U\to\mathbb R, (x_1,x_2)\mapsto (f\circ F)(x_1,x_2) \sqrt{\det (g_{ij}(x_1,x_2))_{i,j}}$ integrierbar ist. In diesem Fall setzen wir
\[
\int_S f\dd A = \int_U (f\circ F)(x_1,x_2)\sqrt{\det(g_{ij}(x_1,x_2))_{ij}}\dd x_1\diff x_2
\]
\end{definition}

\begin{lemma}
Seien $F\colon U\to\ V\cap S$ bzw. $\widetilde F\colon\widetilde U\to\widetilde V\cap S$ lokale Parametrisierungen von $S\subseteq\mathbb R^3$. Dann gilt für $f\colon S\to\mathbb R$ mit $f|_{S\setminus (V\cap \widetilde V)} = 0$:
\[
(f\circ F) \sqrt{\det(g_{ij})}\text{ integrierbar}\iff (f\circ \widetilde F) \sqrt{\det(\tilde g_{ij})}\text{ integrierbar}
\]
In diesem Fall gilt
\[
\int_U (f\circ F) \sqrt{\det(g_{ij})}\dd x_1\diff x_2 = \int_{\widetilde U} (f\circ \widetilde F) \sqrt{\det(\tilde g_{ij})}\dd \tilde x_1\diff\tilde x_2.
\]
\end{lemma}
\begin{proof}
Sei $\phi = F^{-1}\circ \widetilde F$ der Parametrisierungswechsel. Dann gilt
\[
\tilde g_{ij}(\tilde x) = \sum_{k,l=1}^2 \pdiff{\phi_k}{\tilde x_i}(\tilde x)\pdiff{\phi_l}{\tilde x_j}(\tilde x) g_{kl}(\phi(\tilde x)) = \sum_{k,l=1}^2 D\phi(\tilde x)_{ki} D\phi(\tilde x)_{lj} g_{kl}(\phi(\tilde x).
\]
Also ist $(\tilde g_{ij}) = (D\phi)^T (g_{ij}\circ\phi)(D\phi)$. Also ist $\det(\tilde g_{ij}) = (\det D\phi)^2 \det(g_{ij}\circ\phi)$, also $\sqrt{\det(\tilde g_{ij})} = |\det D\phi|\sqrt{\det(g_{ij}\circ\phi)}$. Die Transformationsformel liefert
\[
\int_{F^{-1}(V\cap\widetilde V)} (f\circ F)\sqrt{\det(g_{ij})}\dd x_1\diff x_2 = \int_{\widetilde F^{-1}(V\cap\widetilde V)} (f\circ \widetilde F)\sqrt{\det(g_{ij}\circ\phi)} |\det D\phi|\dd \tilde x_1\diff\tilde x_2
\]
Also folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{definition}
$f\colon S\to\mathbb R$ heißt \emph{integrierbar}, falls $f = f_1 + \dots + f_k$ mit $f_i|_{S\setminus V_i} = 0$ mit lokalen Parametrisierungen $F_i\colon U_i\to V_i\cap S$ und integrierbaren $f_i$ existieren. In diesem Fall setzen wir
\[
\int_S f\dd A = \sum_{i=1}^k \int_S f_i\dd A
\]
\end{definition}

\begin{remark}
Sei $f\colon S\to\mathbb R$ und $A\subseteq S$. Für $\chi_A f =: f_A$ gilt $f_A|_{S\setminus A} = 0$. Z.B. für $A = V\cap S$: $\chi_{V\cap S} f$ lässt sich direkt integrieren.
\end{remark}

\begin{remark}
Ist auch $f = \tilde f_1 + \dots + \tilde f_\ell$ mit $\tilde f_j|_{S\setminus \widetilde V_j} = 0$, so gilt
\[
\sum_{i=1}^k \int_S f_i\dd A = \sum_{j=1}^\ell\int_S \tilde f_j\dd A.
\]
Der Wert des Integrals hängt also nicht von der Art der Zerlegung ab.
\end{remark}

\begin{remark}
Die üblichen Eigenschaften des Integrals übertragen sich:
\begin{align*}
\int_S \lambda f + \mu g\dd A = \lambda \int_S f\dd A + \mu\int_S g\dd A
\end{align*}
für $\lambda,\mu\in\mathbb R$ und integrierbare $f,g\colon S\to\mathbb R$, und
\[
\int_S f\dd A \leq \int_S g\dd A
\]
für integrierbare $f,g\colon S\to\mathbb R$ mit $f\leq g$.
\end{remark}

\begin{definition}
$N\subseteq S$ heißt \emph{Nullmenge}, falls $F^{-1}(N) \subseteq U$ eine Nullmenge ist für jede lokale Parametrisierung $F\colon U\to V\cap S$ von $S$.
\end{definition}

\begin{remark}
Ist $f\colon S\to\mathbb R$ und $g\colon S\to\mathbb R$ und $g|_{S\setminus N} = f|_{S\setminus N}$ für eine Nullmenge $N\subseteq S$, so ist $g$ integrierbar mit
\[
\int_S f\dd A = \int_S g\dd A.
\]
\end{remark}

\begin{definition}
Ist $f = 1$ integrierbar, so heißt
\[
A(S) = \int_S 1\dd A
\]
der \emph{Flächeninhalt} von $S$.
\end{definition}

\begin{example}[Sphäre $S_R^2$ vom Radius $R$]
Sei $U = (-\pi/2,\pi/2)\times(0,2\pi)$, $V = \mathbb R^3\setminus\{x_1\geq 0, x_2 = 0\}$ und $F\colon U\to V\cap S, (\varphi,\theta)\mapsto (R\cos\varphi\cos\theta, R\cos\varphi\sin\theta, R\sin\varphi)$. Dann ist $S\setminus V$ eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit, also eine Nullmenge. Früher:
\[
(g_{ij})_{i,j} = \begin{pmatrix}
R^2 & 0 \\
0 & R^2 \cos^2\varphi
\end{pmatrix}
\]
Also ist $\sqrt{\det (g_{ij})} = R^2|\cos\varphi|$ und
\[
A(S) = \int_0^{2\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} R^2 \cos\varphi\dd\varphi\dd\theta = 4\pi R^2.
\]
\end{example}

\subsection{Spezielle Klassen von Flächen}
\subsubsection{Minimalflächen}

Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche mit Einheitsnormalenfeld $N$, $A(S) < \infty$ und $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung. Sei weiterhin $f\colon S\to\mathbb R$ differenzierbar mit kompaktem Träger in $V\cap S$. Für genügend kleines $t$ ist
\[
S_t := \{p + f(p) t\,N(p)\colon p\in S\}
\]
eine Fläche mit lokaler Parametrisierung
\[
F_t\colon U\to V\cap S_t, x\mapsto F(x) + t (f\circ F)(x) (N\circ F)(x)
\]
Wir möchten $\left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} A(S_t)$ berechnen.

\begin{lemma}[1. Variation des Flächeninhalts]
Es gilt
\[
\left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} A(S_t) = -2 \int_S f\cdot H\dd A
\]
mit der mittleren Krümmung $H$ von $S$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Es gilt
\begin{align*}
\pdiff{F_t}{x_i}  &= \pdiff{F}{x_i} + t \pdiff{(f\circ F)}{x_i} (N\circ F) + t (f\circ F) \pdiff{(N\circ F)}{x_i}
\end{align*}
Also ist
\begin{align*}
% (g_t)_{ij} &= \scalar{\pdiff{F_t}{x_i}}{\pdiff{F_t}{x_j}}_{\mathbb R^3} = \\
% &= \scalar{\pdiff{F}{x_i}}{\pdiff{F}{x_j}}_{\mathbb R^3} + t (f\circ F) \scalar{\pdiff{F}{x_i}}{\pdiff{(N\circ F)}{x_j}}_{\mathbb R^3} + t (f\circ F) \scalar{\pdiff{(N\circ F)}{x_i}}{\pdiff{F}{x_j}}_{\mathbb R^3} +{} \\
% &\phantom{=}{} + t^2\pdiff{(f\circ F)}{x_i} \pdiff{(f\circ F)}{x_j} + t^2 (f\circ F)\pdiff{(f\circ F)}{x_i} \scalar{N\circ F}{\pdiff{(N\circ F)}{x_j}}_{\mathbb R^3} + {}\\
% &\phantom{=}{} + t^2 (f\circ F)^2 \scalar{\pdiff{(N\circ F)}{x_i}}{\pdiff{(N\circ F)}{x_j}}_{\mathbb R^3} \\
% &= g_{ij} - 2 t (f\circ F) h_{ij} + o(t)
(g_t)_{ij} &= \scalar{\pdiff{F_t}{x_i}}{\pdiff{F_t}{x_j}}_{\mathbb R^3} = \\
&= \scalar{\pdiff{F}{x_i}}{\pdiff{F}{x_j}} + t (f\circ F) \scalar{\pdiff{F}{x_i}}{\pdiff{(N\circ F)}{x_j}} + t (f\circ F) \scalar{\pdiff{(N\circ F)}{x_i}}{\pdiff{F}{x_j}} + o(t) =\\
&= g_{ij} - 2 t (f\circ F) h_{ij} + o(t)
\end{align*}
und
\begin{align*}
\det{\big((g_t)_{ij}\big)} &= g_{11} g_{22} - 2t (f\circ F) (g_{11} h_{22} + h_{11}g_{22}) - g_{21}g_{12} + {}\\
&\phantom{=}{}+ 2t (f\circ F) (g_{21}h_{12} + h_{21}g_{12}) + o(t) = \\
&= \det(g_{ij}) + 2t (f\circ F) \big(- g_{11}h_{22} - h_{11}g_{22} + g_{21}h_{12} + h_{21}g_{12}\big) + o(t)
\end{align*}
Es gilt
\[
h_{ij} = g{\left(\pdiff{F}{x_i}, W\pdiff{F}{x_j}\right)} = \sum_{k=1}^2 W_{kj} g_{ik}
\]
für die Matrix $(W_{ij}$ von $W$ bzgl. $\left\{\pdiff{F}{x_1} ,\pdiff{F}{x_2}\right\}$. Also
\begin{align*}
\det{\big((g_t)_{ij}\big)} &= \det(g_{ij}) + 2t(f\circ F) \big(- g_{11}(g_{21} W_{12} + g_{22}W_{22}) - g_{22}(g_{11}W_{11} + g_{12}W_{21}) + {}\\
&\phantom{=}{}+ g_{21}(g_{11} W_{12} + g_{12} W_{22}) + g_{12}(g_{21} W_{11} + g_{12}W_{21})\big) + o(t) = \\
&= \det(g_{ij}) - 2t(f\circ F) \det(g_{ij}) (W_{11} + W_{22}) + o(t) =\\
&= \det(g_{ij}) \big(1 - 4t(f\circ F) H\big) + o(t)
\end{align*}
und
\[
\sqrt{\det{\big((g_t)_{ij}\big)}} = \sqrt{\det(g_{ij})} \big(1 - 2t (f\circ F) H\big) + o(t).
\]
Insgesamt folgt
\[
A(S_t) = \int_S \big( 1 - 2t\, f\cdot H + o(t)\big)\dd A = A(S) - 2t\int_S f\cdot H\dd A + o(t).\qedhere
\]
\end{proof}

\begin{definition}
Eine Fläche $S\subseteq\mathbb R^3$ mit $H = 0$ heißt \emph{Minimalfläche}.
\end{definition}

\begin{remark}
Für Minimalflächen $S$ ist $\left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} A(S_t) = 0$.
\end{remark}

\begin{remark}[Seifenhäute]
Sei $S\subseteq \mathbb R^3$ eine Fläche mit kompaktem Abschluss $\overline S$. Hat $S$ minimalen Flächeninhalt unter solchen Flächen $\widetilde S$ mit demselben Rand $\partial \widetilde S = \partial S$, so hat $S$ verschwindende mittlere Krümmung.
\end{remark}
\begin{proof}
Betrachte eine Variation $S_t$ wie oben. Dann ist $\partial S_t = \partial S$ und
\[
0 = \left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} A(S_t) = -2 \int_S f\cdot H\dd A.
\]
Angenommen $H(p) \neq 0$, etwa $H(p) > 0$ für $p\in S$. Wähle $f\colon S\to\mathbb R$ wie folgt: Es existiert ein offenes $\widetilde V\subseteq V$ und $\delta > 0$ mit $H(q) \geq \delta$ für alle $q\in\widetilde V\cap S$. Setze $f = \chi_{\widetilde V\cap S}\cdot H$. Dann wäre
\[
\int_S f\cdot H\dd A = \int_S\chi_{\widetilde V\cap S} H^2\dd A \geq A(\widetilde V\cap S) \delta ^2 > 0.\qedhere
\]
\end{proof}

\section{Innere Geometrie von Flächen}

\subsection{Isometrien}
\begin{definition}
Seien $S,\widetilde S\subseteq\mathbb R^3$ Flächen. Eine differenzierbare Abbildung $f\colon S\to\widetilde S$ heißt \emph{lokale Isometrie}, falls $Df(p)\colon T_pS\to T_{f(p)}\widetilde S$ für alle $p\in S$ eine lineare Isometrie bezüglich der jeweiligen 1. Fundamentalform $g_p$ und $\tilde g_{f(p)}$ ist, d.h. $\tilde g_{f(p)}(Df(p)v, Df(p)w) = g_p(v,w)$ für alle $v,w\in T_pS$.
\end{definition}

\begin{remark}
Ist $f\colon S\to\widetilde S$ eine lokale Isometrie, so ist $f$ ein lokaler Diffeomorphismus.
\end{remark}

\begin{example}
$f\colon E_{e_1,e_2}\to Z_R, (x_1,x_2)\mapsto (R\cos(x_1/R), R\sin(x_1/R), x_2)$ ist eine lokale Isometrie, denn
\[
\scalar{\pdiff{f}{x_i}}{\pdiff{f}{x_j}} = \delta_{ij}\quad i,j=1,2.
\]
Früher haben wir gezeigt, dass $K_{E_{e_1,e_2}} = K_{Z_R} = 0$, $H_{E_{e_1,e_2}} = 0$ und $H_{Z_R} = \frac{1}{2R}$.
\end{example}

\begin{remark}
Eine Größe der \emph{inneren Geometrie} ist eine Größe, die invariant unter lokalen Isometrien ist. Die mittlere Krümmung ist also keine Größe der inneren Geometrie. Für eine lokale Isometrie $f\colon S\to\widetilde S$ gilt im Allgemeinen $(\widetilde H\circ f)(p)\neq H(p)$ für $p\in S$, siehe obiges Beispiel.
\end{remark}

\begin{definition}
Ein Diffeomorphismus $f\colon S\to\widetilde S$ heißt \emph{Isometrie}, falls er eine lokale Isometrie ist.
\end{definition}

\begin{definition}
Zwei Flächen $S,\widetilde S\subseteq\mathbb R^3$ heißen \emph{(lokal) isometrisch}, falls eine (lokale) Isometrie $S\to\widetilde S$ existiert.
\end{definition}

\begin{example}
Ebene und Zylinder von Radius $R>0$ sind lokal isometrisch, aber nicht isometrisch (Übung).
\end{example}

\subsection{Vektorfelder und kovariante Ableitung}

\begin{definition}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine Fläche. Eine (differenzierbare) Abbildung $X\colon S\to\mathbb R^3$ mit $X(p)\in T_pS$ für alle $p\in S$ heißt \emph{(differenzierbares) Vektorfeld}.
\end{definition}

\begin{remark}
Sei $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung um $p\in S$. Dann ist $\left\{\pdiff{F}{x_1}(x),\pdiff{F}{x_2}(x)\right\}$ eine Basis von $T_{F(x)}(S)$ für $x\in U$ und somit gilt
\[
(X\circ F)(x) = \sum_{i=1}^2 X_i(x) \pdiff{F}{x_i}(x)
\]
für eindeutig bestimmte Funktionen $X_i\colon U\to\mathbb R$ (die Koeffizientenfunktionen von $X$ bezüglich $F$).
\end{remark}

\begin{remark}
$X$ ist differenzierbar um $p$ genau dann, wenn $X_i^F\colon U\to\mathbb R$ differenzierbar um $F^{-1}(p)$ sind für \emph{eine} lokale Parametrisierung $F$ um $p$. Dies ist genau dann der Fall, wenn $X_i^F\colon U\to\mathbb R$ für \emph{jede} lokale Parametrisierung $F$ um $F^{-1}(p)$ differenzierbar sind.
\end{remark}

\begin{example}
Sei $f\colon S\to\mathbb R$ differenzierbar. Da $g_p$ nicht ausgeartet ist, existiert genau ein $\grad f(p)\in T_pS$ mit $Df(p)v = g_p(\grad f(p), v)$ für alle $v\in T_pS$. Das Vektorfeld $\grad f$ heißt \emph{Gradientenvektorfeld} von $f$. Ist $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung, so gilt für $X = \grad f$:
\begin{align*}
\pdiff{(f\circ F)}{x_j}(x) &= (Df){\big(F(x)\big)} \pdiff{F}{x_j}(x) = g_{F(x)}{\left(X(F(x)), \pdiff{F}{x_j}(x)\right)} = \sum_{i=1}^2 X_i(x) g_{ij}(x).
\end{align*}
Für  $G = (g_{ij})$ gilt also
\[
\begin{pmatrix}
\pdiff{(f\circ F)}{x_1} \\
\pdiff{(f\circ F)}{x_2}
\end{pmatrix} = G\begin{pmatrix}
X_1 \\
X_2
\end{pmatrix}
\]
bzw.
\[
\begin{pmatrix}
X_1 \\
X_2
\end{pmatrix} = G^{-1}\begin{pmatrix}
\pdiff{(f\circ F)}{x_1} \\
\pdiff{(f\circ F)}{x_2}
\end{pmatrix}
\]
Ist $f\colon S\to\mathbb R$ also differenzierbar der Klasse $\mathscr C^{k+1}$, so ist $\grad f$ differenzierbar der Klasse $\mathscr C^k$.
\end{example}

\begin{definition}
Für $v\in T_pS$ und differenzierbares $f\colon S\to\mathbb R$ heißt $v(f) = \big(Df(p)\big)v\in\mathbb R$ die \emph{Richtungsableitung} von $f$ in Richtung $v$. Für ein Vektorfeld $X\colon S\to\mathbb R^3$ setzen wir $X(f)\colon S\to\mathbb R, p\mapsto \big(X(p)\big)(f)$.
\end{definition}

\begin{remark}
Ist $f$ differenzierbar der Klasse $\mathscr C^{k+1}$ und $X$ differenzierbar der Klasse $\mathscr C^k$, so ist $X(f)$ differenzierbar der Klasse $\mathscr C^k$.
\end{remark}

\begin{lemma}
Seien $X,Y\colon S\to\mathbb R^3$ differenzierbare Vektorfelder der Klasse $\mathscr C^{k+1}$. Dann existiert ein eindeutiges differenzierbares Vektorfeld $[X,Y]\colon S\to\mathbb R^3$ der Klasse $\mathscr C^k$, so dass $[X,Y]f = X(Yf) - Y(Xf)$ für alle differenzierbaren $f\colon S\to\mathbb R$ der Klasse $\mathscr C^{\ell}$ mit $\ell\geq 2$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Sei $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung. Dann gilt $X\circ F = \sum_{i=1}^2 X_i \pdiff{F}{x_i}$ und $Y\circ F = \sum_{i=1}^2 Y_i\pdiff{F}{x_i}$ für $X_i,Y_i\colon U\to\mathbb R$ differenzierbar. Also gilt für differenzierbares $f\colon S\to\mathbb R$
\[
X(f)\circ F = \sum_{i=1}^2 X_i \pdiff{(f\circ F)}{x_i},\quad Y(f)\circ F = \sum_{i=1}^2 Y_i \pdiff{(f\circ F)}{x_i}
\]
und
\[
X(Yf)\circ F = \sum_{i,j=1}^2 X_i\pdiff{}{x_i}\left(Y_j \pdiff{(f\circ F)}{x_j}\right) = \sum_{i,j=1}^2 \left(X_i \pdiff{Y_j}{x_i}\pdiff{(f\circ F)}{x_j} + X_i Y_j \frac{\partial^2(f\circ F)}{\partial x_i\partial x_j}\right)
\]
und analog
\[
Y(Xf)\circ F = \sum_{i,j=1}^2\left(Y_i \pdiff{X_j}{x_i}\pdiff{(f\circ F)}{x_j} + Y_i X_j \frac{\partial^2(f\circ F)}{\partial x_i\partial x_j}\right)
\]
Also ist
\[
\big(X(Yf) - Y(Xf)\big)\circ F = \sum_{j=1}^2\underbrace{\left(\sum_{i=1}^2 X_i \pdiff{Y_j}{x_i} - Y_i \pdiff{X_j}{x_i}\right)}_{Z_j\colon U\to\mathbb R}\pdiff{(f\circ F)}{x_j} = Zf\circ F
\]
für $Z\circ F = \sum_{i=1}^2 Z_i \pdiff{(f\circ F)}{x_i}$. Dies definiert ein eindeutiges Vektorfeld $Z\colon S\to\mathbb R^3$ mit $Zf = X(Yf) - Y(Xf)$ für alle $f\colon S\to\mathbb R$.
\end{proof}

\begin{definition}
Das Vektorfeld $[X,Y]\colon S\to\mathbb R^3$ heißt \emph{Kommutator} von $X$ und $Y$.
\end{definition}

Sei $X\colon S\to\mathbb R^3$ ein Vektorfeld und $v\in T_pS$. Wir wollen die Richtungsableitung von $X$ in die Richtung von $v$ definieren. Diese sollte ein Tangentialvektor in $T_pS$ sein. Problematisch ist dabei allerdings, dass im Allgemeinen $(DX(p))(v)\not\in T_pS$. Wir betrachten daher die orthogonale Projektion $\pi_p\colon\mathbb R^3\to T_pS, v\mapsto v - \scalar{v}{N(p)} N(p)$ für einen der beiden Einheitsnormalenvektoren $N(p)$.

\begin{definition}
Sei $X\colon S\to\mathbb R^3$ ein differenzierbares Vektorfeld und $v\in T_pS$. Dann heißt $\nabla_v X := \pi_p{\big(DX(p)(v)\big)}\in T_pS$ die \emph{kovariante Ableitung von $X$ in $p$ in Richtung $v$}. Für ein weiteres Vektorfeld $Y\colon S\to\mathbb R^3$ heißt das Vektorfeld $\nabla_Y X$ definiert durch $(\nabla_Y X)(p) = \nabla_{Y(p)}X$ die \emph{kovariante Ableitung von $X$ in Richtung $Y$}.
\end{definition}

\begin{remark}[Ausdruck bezüglich einer lokalen Parametrisierung $F\colon U\to S\cap V$]
Schreibe $X\circ F = \sum_{i=1}^2 X_i\pdiff{F}{x_i}$ und $Y\circ F = \sum_{i=1}^2 Y_i\pdiff{F}{x_i}$. Dann gilt
\begin{align*}
\nabla_Y X\circ F &= \pi{\big(DX(Y)\circ F\big)} = \pi{\left(\sum_{i=1}^2Y_i \pdiff{X\circ F}{x_i}\right)} =\\
&= \pi{\left(\sum_{i=1}^2Y_i \sum_{j=1}^2 \pdiff{X_j}{x_i} \pdiff{F}{x_j} + X_j\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}\right)} = \\
&= \sum_{i=1}^2 Y_i \sum_{j=1}^2\left(\pdiff{X_j}{x_i}\pdiff{F}{x_j} + X_j \pi{\left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}\right)}\right)
\end{align*}
Wir entwickeln $\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}(x)$ in die Basis $\left\{\pdiff{F}{x_1}(x), \pdiff{F}{x_2}(x), N(F(x))\right\}$, wobei $N(F(x)) = \pdiff{F}{x_1}(x)\times\pdiff{F}{x_2}/\left\|\pdiff{F}{x_1}(x)\times\pdiff{F}{x_2}\right\|$:
\[
\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j} = \Gamma^1_{ij}(x)\pdiff{F}{x_1}(x) + \Gamma^2_{ij}(x)\pdiff{F}{x_2}(x) + h_{ij}(x) N(F(x))
\]
für eindeutig bestimmte Funktionen $\Gamma_{ij}^k\colon U\to\mathbb R$. Damit ist
\begin{align*}
\nabla_Y X\circ F &= \sum_{i=1}^2 Y_i \sum_{j=1}^2\left(\pdiff{X_j}{x_i}\pdiff{F}{x_j} + X_j \sum_{k=1}^2 \Gamma_{ij}^k\pdiff{F}{x_k}\right) =\\
&= \sum_{j=1}^2\left(\sum_{i=1}^2 Y_i\pdiff{X_j}{x_i}\right)\pdiff{F}{x_j} + \sum_{k=1}^2 \left(\sum_{i,j=1}^2 Y_i X_j \Gamma_{ij}^k\right)\pdiff{F}{x_k}
\end{align*}
\end{remark}

\begin{definition}
In der Basisentwicklung der zeiten Ableitung einer lokalen Parametrisierung
\[\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j} = \Gamma_{ij}^1(x) \pdiff{F}{x_1}(x) + \Gamma_{ij}^2(x)\pdiff{F}{x_2}(x) + h_{ij}(x) N(F(x))\]
heißen die Koeffizientenfunktionen $\Gamma_{ij}^k\colon U\to\mathbb R$, $i,j,k=1,2$, \emph{Christoffelsymbole}. Es gilt für Vektorfelder $X, Y$
\[\nabla_Y X \circ F = \sum_{j=1}^2 \left(\sum_{i=1}^2 Y_i \pdiff{X_j}{x_i}\right) \pdiff{F}{x_j} + \sum_{k=1}^2 \left(\sum_{i,j = 1}^2 Y_i X_j \Gamma_{ij}^k\right)\pdiff{F}{x_k}\]
\end{definition}

\begin{remark}
Für die Vektorfelder
\[
\pdiff{}{x_i} = \pdiff{F}{x_i}\circ F^{-1}\colon V\cap S\to\mathbb R^3,\quad i=1,2
\]
gilt also insbesondere
\[
\nabla_{\partial/\partial x_i}\pdiff{}{x_j}\circ F = \sum_{k=1}^2 \Gamma_{ij}^k \pdiff{F}{x_k}
\]
\end{remark}
\begin{remark}
Es gilt $\Gamma_{ij}^k = \Gamma_{ji}^k$ nach dem Satz von Schwartz.
\end{remark}

\begin{lemma}
Für die Christoffelsymbole gilt
\[
\Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2}\sum_{\ell=1}^2\left(\pdiff{g_{j\ell}}{x_i} + \pdiff{g_{i\ell}}{x_j} - \pdiff{g_{ij}}{x_\ell}\right) g^{\ell k}
\]
wobei $g^{ij}$ die Koeffizienten von $(g_{ij})_{i,j}^{-1}$ sind.
\end{lemma}
\begin{proof}
Es gilt $g_{j\ell} = (g\circ F){\left(\pdiff{F}{x_j},\pdiff{F}{x_\ell}\right)} = \scalar{\pdiff{F}{x_j}}{\pdiff{F}{x_\ell}}$ und daher
\begin{align*}
\pdiff{g_{j\ell}}{x_i} &= \scalar{\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}}{\pdiff{F}{x_\ell}} + \scalar{\pdiff{F}{x_j}}{\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_\ell}} = \\
&=\scalar{\sum_{k=1}^2\Gamma_{ij}^k \pdiff{F}{x_k}}{\pdiff{F}{x_\ell}} + \scalar{\pdiff{F}{x_j}}{\sum_{k=1}^2 \Gamma_{i\ell}^k\pdiff{F}{x_k}} = \sum_{k=1}^2\left(\Gamma_{ij}^k g_{k\ell} + \Gamma_{i\ell}^k g_{jk}\right)
\end{align*}
und analog
\begin{align*}
\pdiff{g_{i\ell}}{x_j} &= \sum_{k=1}^2\left(\Gamma_{ji}^kg_{k\ell} + \Gamma_{jl}^k g_{ik}\right) \\
\pdiff{g_{ij}}{x_\ell} &= \sum_{k=1}^2\left(\Gamma_{\ell i}^k g_{kj} + \Gamma_{\ell j}^k g_{ik}\right)
\end{align*}
Also folgt
\[
\pdiff{g_{j\ell}}{x_i} + \pdiff{g_{i\ell}}{x_j} - \pdiff{g_{ij}}{x_\ell} = 2\sum_{k=1}^2 \Gamma_{ij}^k g_{k\ell}\qedhere
\]
\end{proof}

\begin{remark}
Die Christoffelsymbole sind also Größen der inneren Geometrie.
\end{remark}

Wir fassen die wichtigsten Eigenschaften der kovarianten Ableitung zusammen:

\begin{theorem}
Für die kovariante Ableitung $(X,Y)\mapsto\nabla_X Y$ gilt:
\begin{enumerate}
\item $\nabla_X(\lambda_1 Y_1 + \lambda_2 Y_2) = \lambda_1\nabla_X Y_1 + \lambda_2\nabla_X Y_2$ für $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R$ und Vektorfelder $X,Y_1,Y_2$.
\item $\nabla_X(fY) = X(f) Y + f\nabla_X Y$ für $f\colon S\to\mathbb R$ und Vektorfelder $X,Y$.
\item $\nabla_{f_1X_1 + f_2X_2}Y = f_1\nabla_{X_1}Y + f_2\nabla_{X_2}Y$ für $f_1,f_2\colon S\to\mathbb R$ und Vektorfelder $X_1,X_2,Y$.
\item $X g(Y,Z) = g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla_X Z)$ für Vektorfelder $X,Y,Z$.
\item $\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]$ für Vektorfelder $X,Y$ (Torsionsfreiheit).
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
1-3 folgen aus $\nabla_X Y = \pi(DX(Y))$ und $DX(\lambda_1 Y_1 + \lambda_2 Y_2) = \lambda_1 DX(Y_1) + \lambda_2 DX(Y_2)$, $DX(fY) = DX(f) Y + f DX(Y)$ und $D(f_1X_1 + f_2X_2)(Y) = f_1 DX_1(Y) + f_2 DX_2(Y)$.

Weiter gilt $Xg(Y,Z) = X\scalar{Y}{Z} = \scalar{DY(X)}{Z} + \scalar{Y}{DZ(X)} = \scalar{\pi(DY(X))}{Z} + \scalar{Y}{\pi(DZ(X))} = g(\nabla_X Y,Z) + g(Y,\nabla_X Z)$ und bezüglich einer lokalen Parametrisierung $F$ gilt
\[
(\nabla_X Y - \nabla_Y X)\circ F = \sum_{j=1}^2\left(\sum_{i=1}^2 X_i \pdiff{Y_j}{x_i} - Y_i \pdiff{X_j}{x_i}\right)\pdiff{F}{x_j} = [X,Y]\circ F.\qedhere
\]
\end{proof}

\subsection{Krümmungstensor \& Theorema Egregium}
%\setcounter{theorem}{0}
%\setcounter{lemma}{0}

\begin{definition}
Seien $X,Y,Z \colon S \to \mathbb R^3$ Vektorfelder: Die \emph{zweite kovariante Ableitung} von $Z$ nach $X$ und $Y$ ist definiert durch
\[\nabla_{X,Y}^2 Z = \nabla_X(\nabla_Y Z) - \nabla_{\nabla\!_X\! Y}Z\]
\end{definition}

\begin{lemma}
Sei $F \colon U \to V \cap S$ eine lokale Parametrisierung und $X \circ F= \sum_i X_i \frac{\partial F}{\partial x_i}$, $Y \circ F = \sum_i Y_i \frac{\partial F}{\partial x_i}$, $Z \circ F = \sum_i Z_i \frac{\partial F}{\partial x_i}$. Dann gilt $\nabla^2_{X,Y}Z \circ F = \sum_i(\nabla^2_{X,Y}Z)_i \frac{\partial F}{\partial x_i}$ mit
\begin{align*}
(\nabla^2_{X,Y} Z)_m &= \sum_{i,j} \frac{\partial^2 Z_m}{\partial x_i \partial x_j} X_i Y_j + \sum_{i,j,k} \Gamma^m_{ij} \frac{\partial Z}{\partial x_k}(X_i Y_k + X_k Y_j) - \sum_{i,j,k} \Gamma^k_{ij} \frac{\partial Z_m}{\partial x_k}X_i Y_j \\
&+ \sum_{i,j,k}\left(\frac{\partial \Gamma^m_{ij}}{\partial x_i} + \sum_\ell(\Gamma^m_{\ell i}\Gamma^\ell_{kj} - \Gamma^m_{k\ell}\Gamma^\ell_{ij})X_iY_j Z_k\right)
\end{align*}
\end{lemma}

\begin{proof}
Es gilt(s.o.):
\begin{align*}
\nabla_Y Z \circ F &= \sum_k\underbrace{\left(\sum_\ell \frac{\partial Z_k}{\partial x_\ell}Y_\ell + \sum_{i,j} \Gamma^k_{ij} Z_i Y_j\right)}_{=: U_k} \frac{\partial F}{\partial x_k}\\
\nabla_X \underbrace{(\nabla_Y Z)}_{U} &= \sum_\alpha \left(\sum_m \frac{\partial U_\alpha}{\partial x_m}X_m + \sum_{\beta,\gamma}\Gamma^\alpha_{\beta\gamma} U_\beta X_\gamma\right)\frac{\partial F}{\partial x_\alpha} =\\
&= \sum_\alpha\Bigg(\sum_{m,\ell} \left(\frac{\partial^2 Z_\alpha}{\partial x_m \partial x_\ell} Y_\ell X_m + \frac{\partial Z_\alpha}{\partial x_\ell}\frac{\partial Y_\ell}{\partial x_m} X_m\right) \\
&+ \sum_{m,i,j} \left(\frac{\partial \Gamma^\alpha_{ij}}{\partial x_m} Z_i Y_j X_m + \Gamma^\alpha_{ij} \frac{\partial Z_i}{\partial x_m} Y_j X_m + \Gamma^\alpha_{ij} Z_i \frac{\partial Y_j}{\partial x_m} X_m\right) \\
&+ \sum_{\beta,\gamma,\ell}\left(\Gamma^\alpha_{ij} \frac{\partial Z_\beta}{\partial x_\ell} Y_\ell X_j + \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} \Gamma^\beta_{ij} Z_i Y_j X_j\right)\Bigg) \frac{\partial F}{\partial x_\alpha} =: I_1
\end{align*}
Genauso
\begin{align*}
\nabla_X Y \circ F &= \sum_k \underbrace{\left( \sum_\ell \frac{\partial Y_k}{\partial x_\ell}X_\ell + \sum_{i,j} \Gamma^k_{ij} Y_i X_j\right)}_{=:V_k}\frac{\partial F}{\partial x_k} \\
\nabla_{\nabla\!_X\!Y}Z \circ F &= \sum_\alpha \left(\sum_m \frac{\partial Z_\alpha}{\partial x_m} V_m + \sum_{\beta,\gamma} \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} Z_\beta V_\gamma\right) \frac{\partial F}{\partial x_\alpha} =\\
&= \sum_\alpha\Bigg(\sum_{m,\ell} \frac{\partial Z_\alpha}{\partial x_m} \frac{\partial Y_m}{\partial x_\ell} X_\ell + \sum_{m,i,j}\frac{\partial Z_\alpha}{\partial x_m} \Gamma^m_{ij} Y_i X_j \\
&+ \sum_{\beta,\gamma,\ell} \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} Z\beta \frac{\partial Y_\gamma}{\partial x_\ell} X_\ell + \sum_{\beta,\gamma, i, j} \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} Z_\beta \Gamma^\gamma_{ij} Y_i X_j \Bigg) \frac{\partial F}{\partial x_\alpha} =: I_2
\end{align*}
Die Behauptete Formel ergibt sich als Differenz $I_1 - I_2$.
\end{proof}

\begin{corollary}
Für $p \in S$ hängt $(\nabla^2_{X,Y} Z)(p) \in T_pS$ nur von $v := X(p) \in T_pS$ und $w := Y(p) \in T_pS$ ab. Für ein Vektorfeld $Z \colon S \to \mathbb R^3$ liefert die kovariante Ableitung also eine $\mathbb R$-bilineare Abbildung
\begin{align*}
T_pS \times T_pS &\to T_pS \\
(v,w) &\mapsto \nabla^2_{v,w} Z := (\nabla^2_{X,Y} Z)(p)
\end{align*}
für beliebige Vektorfelder $X,Y \colon S \to \mathbb R^3$ mit $X(p) = v$, $Y(p) = w$.
\end{corollary}

\begin{remark}
Der Satz von Schwarz gilt im allgemeinen nicht für die zweite kovariante Ableitung, d.h. im allgemeinen $\nabla^2_{X,Y} Z \neq \nabla^2_{Y,X} Z$. Die Abweichung wird durch den Krümmungstensor gemessen.
\end{remark}

\begin{definition}
Seien $v,w \in T_pS$ und $Z \colon S \to \mathbb R^3$ ein Vektorfeld. Dann ist der {\em Riemannsche Krümmungstensor} definiert durch
\[R(v,w) Z := \nabla^2_{v,w}Z - \nabla^2_{w,v} Z \in T_pS\]
\end{definition}

\begin{remark}
Offenbar ist $R(v,w) Z$ schiefsymmetrisch in $v$ und $w$.
\end{remark}

\begin{lemma}
Sei $F \colon U \to V \cap S$ eine lokale Parametrisierung, $F(x_0) = p$, $v = \sum_i v_i \frac{\partial F}{\partial x_i}(x_0)$, $v = \sum_i w_i \frac{\partial F}{\partial x_i}(x_0)$, $v_i, w_i \in \mathbb R$. Dann gilt:
\[R(v,w) Z = \sum_{i,j,k,\ell}R^\ell_{ijk}(x_o) v_i w_j Z_k(x_0) \frac{\partial F}{\partial x_\ell}(x_0)\]
für
\[R_{ijk}^\ell := \frac{\partial \Gamma_{kj}^\ell}{\partial x_i} - \frac{\partial \Gamma_{ki}^\ell}{\partial x_i} + \sum_m (\Gamma_{mi}^\ell\Gamma_{kj}^m - \Gamma_{mj}^\ell\Gamma_{ki}^m)\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Benutze Lemma 1: Die Terme, die symmetrisch in $v,w$ (bzw. $X,Y$) sind, fallen weg.
\end{proof}

\begin{corollary}
$R(v,w)Z \in T_pS$ hängt nur von $u := Z(p) \in T_pS$ ab, $R$ liefert also eine $\mathbb R$-trilineare Abbildung
\begin{align*}
T_pS \times T_pS \times T_pS &\to T_pS \\
(v,w,u) &\mapsto R(v,w)u := R(v,w)Z
\end{align*}
für $Z \colon S \to \mathbb R^3$ beliebig mit $Z(p) = u$.
\end{corollary}

\begin{theorem}[Gauß-Gleichung]
Sei $S \subseteq \mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche mit Einheitsnormalenfeld $N$. Dann gilt für $v,w,u \in T_pS$:
\[R(v,w)u = h(w,u) \cdot W(v) - h(v,u) \cdot W(w) \in T_pS\]
Mit der zweiten Fundamentalform $h \colon T_pS \times T_pS \to T_pS$ und der Weingartenabbildung $W \colon T_pS \to T_pS$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Sei $F \colon U \to V \cap S$ eine lokale Parametrisierung um $p$. Dann gilt (s.o.):
\[\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j} = \sum_k \Gamma^k_{ij} \frac{\partial F}{\partial x_k} + h_{ij} (N \circ F) \qquad h_{ij} = h \circ F\left(\frac{\partial F}{\partial x_i}, \frac{\partial F}{\partial x_j}\right)\]
also
\begin{align*}
\frac{\partial^3 F}{\partial x_\ell \partial x_i \partial x_j} &= \sum_k \left(\frac{\partial \Gamma^k_{ij}}{\partial x_\ell} \frac{\partial F}{\partial x_k} + \Gamma^k_{ij} \frac{\partial^2 F}{\partial x_\ell, x_k}\right) + \frac{\partial h_{ij}}{\partial x_\ell}(N \circ F) + h_{ij} \frac{\partial (N \circ F)}{\partial x_\ell} \\
&= \sum_k \left(\frac{\partial \Gamma^k_{ij}}{\partial x_\ell} \frac{\partial F}{\partial x_k} + \Gamma_{ij}^k \sum_m \Gamma_{\ell k}^m \frac{\partial F}{\partial x_m}\right) - h_{ij} W\left(\frac{\partial F}{\partial x_k}\right) + \text{Normalanteil} \\
&= \sum_m \left(\frac{\partial \Gamma_{ij}^m}{\partial x_\ell} + \sum_k \Gamma_{ij}^k \Gamma_{\ell k}^m - h_{ij} W_{m\ell}\right) \frac{\partial F}{\partial x_m} + \text{Normalanteil}
\end{align*}
Nach dem Satz von Schwarz gilt
\begin{align*}
0 &= \frac{\partial^3 F}{\partial x_\ell \partial x_i \partial x_j} - \frac{\partial^3 F}{\partial x_i \partial x_\ell \partial x_j} = \\
&= \sum_m \Biggl(\underbrace{\frac{\partial \Gamma_{ij}^m}{\partial x_\ell} - \frac{\partial \Gamma_{\ell j}^m}{\partial x_i} + \sum_k (\Gamma_{ij}^k \Gamma_{\ell k}^m - \Gamma_{\ell j}^k \Gamma_{ik}^m)}_{= R_{\ell j i}^m} - h_{ij} W_{m\ell} + h_{\ell j} W_{mi} \Biggr)\frac{\partial F}{\partial x_m} + \text{Normalanteil}
\end{align*}
Also $R_{\ell ji}^m = h_{ij} W_{m\ell} - h_{\ell j} W_{mi}$. Aus
\[R_{\ell ij}^m := \frac{\partial \Gamma_{ji}^m}{\partial x_\ell} - \frac{\partial \Gamma_{j\ell}^m}{\partial x_j} + \sum_k (\Gamma_{k\ell}^m\Gamma_{ki}^k - \Gamma_{ki}^m\Gamma_{k\ell}^k)\]
folgt
\begin{align*}
R{\left(\pdiff{}{x_\ell},\pdiff{}{x_i}\right)}\pdiff{}{x_j} &= \sum_m R_{\ell ji}^m \pdiff{}{x_m} = \sum_m\left(h_{ij} w_{m\ell}\pdiff{}{x_m} - h_{\ell j} W_{mi} \pdiff{}{x_m}\right) =\\
&= h{\left(\pdiff{}{x_i},\pdiff{}{x_j}\right)} W{\left(\pdiff{}{x_\ell}\right)} - h{\left(\pdiff{}{x_\ell},\pdiff{}{x_j}\right)} W{\left(\pdiff{}{x_i}\right)}.
\end{align*}
Da $\pdiff{}{x_1}(p), \pdiff{}{x_2}(p)$ eine Basis von $T_pS$ ist, gilt die Formel allgemein.
\end{proof}

\begin{theorem}[Theorema Egregium]
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche mit Einheitsnormalenfeld $N$. Dann gilt für jede Orthonormalbasis $\{e_1,e_2\}$ von $T_pS$
\[
K(p) = g{\big(R(e_1,e_2)e_2, e_1\big)}.
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Mit der Gaußgleichung gilt
\begin{align*}
g{\big(R(e_1,e_2)e_2,e_1\big)} &= h(e_2,e_2)g{\big(W(e_1),e_1\big)} - h(e_1,e_2)g{\big(W(e_2),e_1\big)} =\\
&= g{\big(W(e_2),e_2\big)}g{\big(W(e_1),e_1\big)} - g{\big(W(e_1),e_2\big)}g{\big(W(e_2),e_1\big)} = \\
&= W_{11} W_{22} - W_{12}W_{21} = \det W_p = K(p)
\end{align*}
für $(W_{ij})$ die Matrix von $W_p$ bezüglich $\{e_1,e_2\}$.
\end{proof}

\begin{remark}
Die Gaußkrümmung ist also eine Größe der inneren Geometrie von $S$, d.h. für eine lokale Isometrie $f\colon S\to \widetilde S$ gilt $\widetilde K(f(p)) = K(p)$.
\end{remark}

\begin{example}
Es gibt keine längentreuen, d.h. lokal isometrischen, ebenen Karten der Erdoberfläche, denn $K_{S^2_R} = \frac{1}{R^2}$, aber $K_{\mathbb R^2} = 0$.
\end{example}

Wir fassen die Symmetrien des Krümmungstensors zusammen:
\begin{lemma}
Für $v,w,x,y\in T_pS$ gilt
\begin{enumerate}[1.]
\smallspace
\item $R(v,w)x = -R(w,v)x$
\item $g(R(v,w)x, y) = - g(R(v,w)y, x)$
\item $g(R(v,w)x, y) = g(R(x,y)v, w)$
\item Bianchi Identität: $R(v,w)x + R(w, x)v + R(x,v)w = 0$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}\
\begin{enumerate}[1.]
\smallspace
\item Es ist $R(v,w)x = \nabla^2_{v,w}X - \nabla^2_{w,v}X$ für eine Vektorfeld $X\colon S\to\mathbb R^3$ mit $X(p) = x$.
\item Folgt aus 3. und 1.
\item Mit der Gaußgleichung folgt $g(R(v,w)x,y) = h(w,x) g(W(v),y) - h(v,x) g(W(w),y) = h(w,x)h(v,y) - h(v,x)h(w,y)$.
\item Es ist $R(v,w)x + R(w,x)v + R(x,v)w = h(w,x)W(v) - h(v,x)W(w) + h(x,v)W(w)-h(w,v)W(x) + h(v,w)W(x)-h(x,w)W(v) = 0$.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Parallelverschiebung \& Geodätische}

\begin{definition}
Sei $I\subseteq\mathbb R$ ein Intervall $\gamma\colon I\to S$ eine Kurve. Eine Abbildung $X\colon I\to\mathbb R^3$ mit $X(t)\in T_{\gamma(t)}S$ für alle $t\in I$ heißt \emph{Vektorfeld entlang $\gamma$}.
\end{definition}

\begin{example}
Ist $\gamma\colon I\to S$ differenzierbar, so ist $X(t) = \gamma'(t)$ ein Vektorfeld entlang $\gamma$.
\end{example}

\begin{definition}
Sei $X\colon I\to\mathbb R^3$ ein differenzierbares Vektorfeld entlang der differenzierbaren Kurve $\gamma\colon I\to S$. Dann heißt
\[
\nabla_{\diff/\diff t}X(t) = \pi^\parallel_{\gamma(t)}(X'(t))\in T_{\gamma(t)}S
\]
\emph{kovariante Ableitung entlang $\gamma$}, wobei $\pi_{\gamma(t)}^\parallel\colon\mathbb R^3\to T_{\gamma(t)}S$ die orthogonale Projektion sei.
\end{definition}
\begin{remark}
Ist $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung und $\gamma\colon I\to V\cap S$, so gilt mit $\tilde\gamma(t) = (F^{-1}\circ\gamma)(t)$
\[
X(t) = X_1(t) \pdiff{F}{x_1}(\tilde\gamma(t)) + X_2(t)\pdiff{F}{x_2}(\tilde\gamma(t)).
\]
Dann gilt analog zu Abschnitt 3.2:
\[
\nabla_{\diff/\diff t}X(t) = \sum_k \Big(X_k'(t) +  \sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k(\tilde\gamma(t))X_i(t)\tilde\gamma'_j(t)\Big)\pdiff{F}{x_k}(\tilde\gamma(t))
\]
mit $\tilde \gamma' = (\tilde\gamma'_1,\tilde\gamma'_2)$.
\end{remark}

\begin{remark}
Die Rechenregeln aus 3.2 gelten analog:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\nabla_{\diff /\diff t}(\lambda_1 X_1 + \lambda_2 X_2) = \lambda_1\nabla_{\diff/\diff t}X_1 + \lambda_2\nabla_{\diff/\diff t} X_2$, $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R$.
\item $\nabla_{\diff/\diff t}(fX) = f'X + f\nabla_{\diff/\diff t}X$, $f\colon I\to\mathbb R$.
\item $\frac{\diff}{\diff t} g(X,Y) = g(\nabla_{\diff/\diff t} X, Y) + g(X, \nabla_{\diff/\diff t} Y)$.
\end{enumerate}
Weiterhin gilt $\nabla_{\diff/\diff t}(X\circ\varphi) = \varphi'(\nabla_{\diff/\diff t}X)\circ\varphi$ für eine Umparametrisierung $\varphi\colon J\to I$.
\end{remark}

\begin{definition}
Das Vektorfeld $X\colon I\to\mathbb R^3$ entlang $\gamma\colon I\to S$ heißt \emph{parallel}, falls $\nabla_{\diff/\diff t}X(t) = 0$ für alle $t\in I$.
\end{definition}
\begin{remark}
Ist $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung und $\gamma\colon I\to V\cap S$, so ist $\nabla_{\diff/\diff t}X(t) = 0$ für alle $t\in I$ äquivalent zu einem linearen Differentialgleichungssystem ($\tilde\gamma = F^{-1}\circ\gamma$):
\begin{align*}
X_1'(t) + \sum_{i,j}\Gamma_{ij}^1(\tilde\gamma(t))X_i(t)\tilde\gamma'_j(t) &= 0 \\
X_2'(t) + \sum_{i,j}\Gamma_{ij}^2(\tilde\gamma(t))X_i(t)\tilde\gamma'_j(t) &= 0
\end{align*}
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen linearer Differentialgleichungssysteme impliziert damit folgenden Satz:
\end{remark}

\begin{theorem}
Sei $\gamma\colon I\to S$ differenzierbar, $t_0\in I$. Dann existiert für alle $v_0\in T_{\gamma(t_0)}S$ ein eindeutiges paralleles Vektorfeld $X\colon I\to\mathbb R^3$ entlang $\gamma$ mit $X(t_0) = v_0$.
\end{theorem}

\begin{definition}
Sei $\gamma\colon[t_0,t_1]\to S$ differenzierbar. Die Abbildung $P_\gamma\colon T_{\gamma(t_0)}S\to T_{\gamma(t_1)}S$ die $v_0\in T_{\gamma(t_0)}S$ auf $v_1 = X(t_1)$ abbildet, wobei $X\colon [t_0,t_1]\to\mathbb R^3$ das eindeutige parallele Vektorfeld entlang $\gamma$ mit $X(t_0) = v_0$ ist, heißt \emph{Paralleltransport entlang $\gamma$}.
\end{definition}

\begin{remark}
$P_\gamma\colon T_{\gamma(t_0)}S\to T_{\gamma(t_1)}S$ ist eine lineare Isometrie, denn sind $X$ und $Y$ parallel entlang $\gamma$, so gilt
\[
\frac{\diff}{\diff t} g_{\gamma(t)}(X(t),Y(t)) = g_{\gamma(t)}{\big(\nabla_{\diff/\diff t}X(t), Y(t)\big)} + g_{\gamma(t)}{\big(X(t), \nabla_{\diff/\diff t}Y(t)\big)} = 0.
\]
\end{remark}

\begin{example}
Für die Ebene $E = \mathbb R^2\times\{0\}$ ist $T_pE = \mathbb R^2\times\{0\}\subseteq\mathbb R^3$ für alle $p\in E$. Für eine Kurve $\gamma\colon I\to E$ ist ein Vektorfeld $X = (X_1,X_2)$ genau dann parallel entlang $\gamma$, wenn $X_i$, $i=1,2$, konstant ist.
\end{example}

\begin{definition}
$\gamma\colon I\to S$ heißt \emph{Geodätische}, falls gilt: $\nabla_{\diff/\diff t}\gamma'(t) = 0$ für alle $t\in I$.
\end{definition}

\begin{remark}
Ist $F\colon U\to V\cap S$ eine lokale Parametrisierung und $\gamma\colon I\to V\cap S$, so gilt mit $\tilde \gamma\colon I\to U$, $\tilde\gamma(t) = F^{-1}{\big(\gamma(t)\big)}$:
\[
\gamma'(t) = \tilde\gamma_1'(t) \pdiff{F}{x_1}\big(\tilde\gamma(t)\big) + \tilde\gamma_2'(t) \pdiff{F}{x_2}\big(\tilde\gamma(t)\big)
\]
also $\tilde \gamma'(t) = \tilde\gamma'_1(t) e_1 + \tilde\gamma'_2(t) e_2$. Also gilt $\nabla_{\diff/\diff t}\gamma'(t) = 0$ genau dann, wenn
\[
\tilde\gamma''_k(t) + \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^k\big(\tilde\gamma(t)\big)\tilde\gamma'_i(t)\tilde\gamma'_j(t) = 0
\]
für $k=1,2$. Existenz und Eindeutigkeit für gewöhnliche Differentialgleichungen liefert damit den folgenden Satz.
\end{remark}

\begin{theorem}
Sei $v\in T_pS$. Dann existiert $\varepsilon > 0$ und eine eindeutige Geodätische $\gamma\colon [0,\varepsilon)\to S$ mit $\gamma(0) = p$ und $\gamma'(0) = v$.
\end{theorem}

\begin{remark}
Im Allgemeinen existiert die Lösung nicht für alle Zeiten.
\end{remark}

\begin{example}[Sphäre $S_R^2$ vom Radius $R > 0$]
Betrachte
\[
\gamma_\varphi\colon\mathbb R\to S_R^2, \theta\mapsto (R\cos\varphi\cos\theta, R\cos\varphi\sin\theta, R\sin\varphi)
\]
mit $\varphi\in (-\pi/2,\pi/2)$ fest. Dann ist $\gamma_\varphi'(\theta) = (-R\cos\varphi\sin\theta, R\cos\varphi\cos\theta, 0)$ und $\gamma_\varphi''(\theta) = (-R\cos\varphi\cos\theta, -R\cos\varphi\sin\theta, 0)$, $N(\gamma_\varphi(\theta)) = \frac{1}{R} =\gamma_\varphi(\theta) = (\cos\varphi\cos\theta,\cos\varphi\sin\theta, \sin\varphi)$. Damit erhält man
\[
\nabla_{\diff/\diff\theta}\gamma'_\varphi(\theta) = \gamma''_\varphi(\theta) - \scalar{\gamma''_\varphi(\theta)}{N(\gamma_\varphi(\theta))} N(\gamma_\varphi(\theta)) = R\begin{pmatrix}
-\cos\varphi\cos\theta + \cos^3\varphi\cos\theta \\
-\cos\varphi\sin\theta + \cos^3\varphi\sin\theta \\
\cos^2\varphi\sin\varphi
\end{pmatrix}
\]
Also ist $\nabla_{\diff/\diff\theta}\gamma_\varphi'(\theta) = 0$ für alle $\theta$ genau dann, wenn $\varphi = 0$. Also ist $\gamma_\varphi$ eine Geodätische genau dann, wenn $\varphi = 0$, d.h. $\gamma_\varphi$ parametrisiert den Äquator.
\end{example}

\begin{remark}
Ist $\phi\colon S\to\widetilde S$ eine lokale Isometrie und $\gamma\colon I\to S$ eine Geodätische, so ist $\tilde\gamma = \phi\circ\gamma$ eine Geodätische.
\end{remark}

\begin{remark}
Die Geodätischen auf $S^2_R$ sind gerade die (parametrisierten) Großkreise.
\end{remark}

Die Geodätischengleichung taucht natürlich bei der Frage nach kürzesten Verbindungskurven zwischen $p,q\in S$ auf. Sei $\gamma\colon[a,b]\to S$ eine Kurve mit $p = \gamma(a)$, $q = \gamma(b)$. Neben der Länge
\[
L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}{\big(\gamma'(t),\gamma'(t)\big)}}\dd t
\]
betrachtet man dabei auch die \emph{Energie}
\[
E(\gamma) = \frac{1}{2} \int_a^b g_{\gamma(t)}{\big(\gamma'(t),\gamma'(t)\big)}\dd t.
\]
\begin{lemma}
Es gilt: $L(\gamma)^2 \leq 2(b-a)E(\gamma)$ mit Gleichheit genau dann, wenn $\gamma$ proportional zur Bogenlänge parametrisiert ist, d.h. $g_{\gamma(t)}{\big(\gamma'(t),\gamma'(t)\big)}$ ist konstant.
\end{lemma}
\begin{proof}
Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt
\[
L(\gamma)^2 \leq \int_a^b g_{\gamma(t)}{\big(\gamma'(t),\gamma'(t)\big)}\dd t \int_a^b \dd t = 2(b-a) E(\gamma).\qedhere
\]
\end{proof}

\begin{corollary}
$\gamma$ minimiert die Energie genau dann, wenn $\gamma$ proportional zur Bogenlänge parametrisiert ist und die Länge minimiert.
\end{corollary}

\begin{theorem}[1. Variation der Energie]
Seien $p,q\in S$ und $H\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\times[a,b]\to S$ differenzierbar, so dass für $\gamma_s\colon [a,b]\to S, t\mapsto H(s,t)$ gilt: $\gamma_s(a) = p$ und $\gamma_s(b) = q$. Dann gilt
\[
\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0} E(\gamma_s) = -\int_a^b g_{\gamma(t)}{\big(V(t), \nabla_{\diff/\diff t}\gamma'(t)\big)}\dd t
\]
mit $\gamma = \gamma_0$ und $V(t) = \pdiff{H}{s}(0,t)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Es ist
\begin{align*}
\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0}\frac{1}{2}\int_a^b \scalar{\gamma_s'(t)}{\gamma_s'(t)}\dd t &= \int_a^b \scalar{\frac{\partial^2 H}{\partial s\partial t}(0,t)}{\gamma'(t)}\dd t = \int_a^b \scalar{V'(t)}{\gamma'(t)}\dd t =\\
&=\int_a^b \frac{\diff}{\diff t}\scalar{V(t)}{\gamma'(t)}\dd t - \int_a^b \scalar{V(t)}{\gamma''(t)}\dd t = \\
&= -\int_a^b \scalar{V(t)}{\gamma''(t)}\dd t = -\int_a^b \scalar{V(t)}{\nabla_{\diff/\diff t}\gamma'(t)}\dd t
\end{align*}
da $V(t)\in T_{\gamma(t)}S$.
\end{proof}

\begin{corollary}
Hat $\gamma\colon [a,b]\to S$ minimale Energie unter allen Kurven $\tilde\gamma\colon[a,b]\to S$ mit $\tilde\gamma(a) = p$, $\tilde\gamma(b) = q$, so gilt $\nabla_{\diff/\diff t}\gamma'(t) = 0$ für alle $t\in [a,b]$, d.h. $\gamma$ ist Geodätische.
\end{corollary}
\begin{proof}
Angenommen $\nabla_{\diff/\diff t}\gamma'(t) \neq 0$ für ein $t\in (a,b)$. Sei $F\colon U\to V\cap S$ mit $\gamma(t_0)\in V$. Wähle $\delta > 0$ so, dass $[t_0-\delta,t_0+\delta]\subseteq(a,b)$ und $\gamma([t_0-\delta,t_0+\delta])\subseteq V$. Sei $\tilde\gamma\colon [t_0-\delta,t_0+\delta]\to U$, $\tilde \gamma(t) = F^{-1}(\gamma(t))$ und $X(t) = DF(\tilde\gamma(t))^{-1}{\big(\nabla_{\diff/\diff t}\gamma'(t)\big)}$ für $t\in [t_0-\delta,t_0+\delta]$. Wähle $\varphi\colon [t_0-\delta,t_0+\delta]\to\mathbb R$ differenzierbar mit $\varphi \geq 0$, $\varphi(t_0) > 0$ und $\supp(\varphi)\subseteq (t_0-\delta,t_0+\delta)$. Definiere
\[
\gamma_s(t) = \begin{cases}
F(\tilde\gamma(t) + s\varphi(t) X(t)) & t\in [t_0-\delta,t_0+\delta] \\
\gamma(t) & t\in [a,b]\setminus[t_0-\delta,t_0+\delta]
\end{cases}
\]
mit $s\in (-\varepsilon,\varepsilon)$ und $\varepsilon > 0$ hinreichend klein. Dann gilt
\[
V(t) = \begin{cases}
DF(\tilde\gamma(t)){\big(\varphi(t)X(t)\big)} = \varphi(t)\nabla_{\diff/\diff t}\gamma'(t) & t\in [t_0-\delta,t_0+\delta] \\
0 & t\in [a,b]\setminus[t_0-\delta,t_0+\delta]
\end{cases}
\]
Mit Satz folgt
\begin{align*}
\left.\frac{\diff}{\diff s}\right|_{s=0}E(\gamma_s) &= -\int_a^b g_{\gamma(t)}{\big(V(t), \nabla_{\diff/\diff t}\gamma'(t)\big)}\dd t = \\
&= -\int_{t_0-\delta}^{t_0+\delta} \varphi(t) g_{\gamma(t)}{\big(\nabla_{\diff/\diff t}\gamma'(t), \nabla_{\diff/\diff t}\gamma'(t)\big)}\dd t < 0
\end{align*}
im Widerspruch zur Energieminimalität von $\gamma$.
\end{proof}

\subsection{Der Satz von Gauß-Bonnet}
Zunächst sei $X\colon U\to\mathbb R^2$ ein stetiges Vektorfeld und $x_0\in U$ eine isolierte Nullstelle, d.h. $X(x_0) = 0$ aber es existiert $\varepsilon > 0$ mit $X(x) \neq 0$ für $x\in B_{\varepsilon}(x_0)\setminus\{x_0\}$. Wir nehmen ohne Einschränkung an, dass $x_0$ die einzige Nullstelle von $X$ auf $U$ ist. Für $\varepsilon > 0$ hinreichend klein betrachte
\[
\gamma_\varepsilon\colon\mathbb R\to U, t\mapsto x_0 + \varepsilon(\cos t, \sin t).
\]
Wir betrachten eine Winkelfunktion $\Theta_\varepsilon\colon\mathbb R\to\mathbb R$ für $\widetilde X(t) = X(\gamma_\varepsilon(t))/\|X(\gamma_\varepsilon(t))\|\in S^1$, d.h. $\widetilde X(t) = \big(\cos\Theta(t), \sin\Theta(t)\big)$.
\begin{definition}
Es heißt
\[
\ind(X,p) = \frac{1}{2\pi}\big(\Theta_\varepsilon(2\pi) - \Theta_\varepsilon(0)\big)\in\mathbb Z
\]
der \emph{Index} von $X$ in $p$.
\end{definition}

\begin{remark}
Das ist unabhängig von der Wahl von $\varepsilon$, denn es gilt allgemeiner:
\end{remark}

\begin{lemma}
Sei $x_0\in U$ die einzige Nullstelle von $X$ auf $U$. Sind $\gamma, \tilde\gamma\colon\mathbb R\to U$ (periodisch mit Periode $T > 0$) \emph{homotop}, d.h. es existiert eine \emph{Homotopie} $H\colon\mathbb R\times[0,1]\to U$ (stetig) mit $H(t+T, s) = H(t,s)$, $H(t,0) = \gamma(t)$ und $H(t,1) = \tilde\gamma(t)$ für alle $t\in\mathbb R$ und $s\in[0,1]$, so gilt
\[
\Theta_{\tilde\gamma}(T) - \Theta_{\tilde\gamma}(0) = \Theta_\gamma(T) - \Theta_\gamma(0)
\]
\end{lemma}
\begin{proof}
Betrachte $R = [0,T]\times[0,1]\subseteq\mathbb R^2$. $X$ is sternförmig bezüglich $(0,0)$, also existiert eine Winkelfunktion $\Theta_H\colon R\to\mathbb R$ für $\widetilde X\circ H\colon R\to S^1$. Dann ist $\Theta_H(T,0) - \Theta_H(0,0) = \Theta_H(T,0) - \Theta_H(T,1) + \Theta_H(T,1) - \Theta_H(0,1) + \Theta_H(0,1) - \Theta_H(0,0) = \Theta_{\tilde\gamma}(T) - \Theta_{\tilde\gamma}(0)$ wegen der Periodizität von $\Theta_H$.
\end{proof}

\begin{remark}
Für differenzierbares $X$ und eine periodische Kurve $\gamma\colon\mathbb R\to U\setminus\{x_0\}$ mit Periode $T>0$ gilt
\[
\Theta_\gamma(T) - \Theta_\gamma(0) = \int_0^T \big(\widetilde X_1(t)\widetilde X_2'(t) - \widetilde X_2(t)\widetilde X_1'(t)\big)\dd t = \int_0^T \det{\begin{pmatrix}
\widetilde X_1(t) & \widetilde X_1'(t) \\
\widetilde X_2(t) & \widetilde X_2'(t)
\end{pmatrix}}\dd t
\]
für $\widetilde X = (\widetilde X_1, \widetilde X_2) = \frac{X}{\|X\|}\circ\gamma$, denn mit $\widetilde X(t) = \big(\cos\Theta_\gamma(t), \sin\Theta_0(t)\big)$ ist $\widetilde X'(t) = \Theta_\gamma'(t)\big({-\widetilde X_2}(t), \widetilde X_1(t)\big)$, also $\widetilde X_1(t)\widetilde X_2'(t) - \widetilde X_2(t)\widetilde X_1'(t) = \Theta_\gamma'(t)\big(\tilde X_1(t)^2 + \tilde X_2(t)^2\big) = \Theta_\gamma'(t)$.
\end{remark}

Sei jetzt $S\subseteq\mathbb R^3$ eine orientierbare Fläche, orientiert durch das Einheitsnormalenfeld $N$. Sei $X\colon S\to\mathbb R^3$ ein stetiges Vektorfeld mit isolierter Nullstelle $p\in S$. Sei $U\subseteq S$ offen mit $p\in U$, so dass $p$ die einzige Nullstelle von $X$ auf $U$ ist. Sei $\{e_1,e_2\}$ ein positiv orientiertes Orthonormalbasenfeld auf $U$, d.h. $e_i\colon U\to\mathbb R^3$ Vektorfelder, $g(e_i(x),e_j(x)) = \delta_{ij}$ und $\{e_1(x),e_2(x),N(x)\}$ ist eine positiv orientierte Orthonormalbasis von $\mathbb R^3$. Schreibe $X = X_1 e_1 + X_2 e_2$, $X_i\colon U\to\mathbb R$, bzw. $\widetilde X = \widetilde X_1 e_1 + \widetilde X_2 e_2$ mit $\widetilde X = g(X,X)^{1/2} X$. Für $\varepsilon > 0$ hinreichend klein ist $S\setminus B_\varepsilon(p) =: S_\varepsilon$ eine Fläche mit Rand $\partial S_\varepsilon \simeq S^1$. Sei $\gamma_\varepsilon\colon\mathbb R\to\partial S_\varepsilon$ eine Parametrisierung von $\partial S_\varepsilon$ mit Periode $T > 0$, so dass $\nu = J\gamma'$ der nach außen gerichtete Einheitsnormalenvektor ist; hier sei $J_p\colon T_pS\to T_pS$ die Drehung um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn, d.h. für $v\in T_pS\setminus\{0\}$ gilt $g_p(v,J_pv) = 0$ und $\{v, J_pv, N(p)\}$ ist positiv orientiert in $\mathbb R^3$. Sei $\Theta_\varepsilon\colon\mathbb R\to\mathbb R$ eine Winkelfunktion für $(\widetilde X_1, \widetilde X_2)\colon\mathbb R\to\mathbb R^2$, d.h. $(\widetilde X_1(t), \widetilde X_2(t)) = (\cos\Theta_\varepsilon(t), \sin\Theta_\varepsilon(t))$.

\begin{definition}
Es heißt
\[
\ind(X,p) = \frac{1}{2\pi}\big(\Theta_\varepsilon(T) - \Theta_\varepsilon(0)\big)
\]
heißt der \emph{Index} von $X$ in $p$.
\end{definition}

\begin{remark}
Wie oben zeigt man, dass die Definition unabhängig von $\varepsilon$ ist.
\end{remark}

\begin{remark}
Für $U$ hinreichend klein existiert $\{e_1,e_2\}$ wie oben: Wende Gram-Schmidt auf ein von einer orientierungserhaltenden lokalen Parametrisierung kommendes Basenfeld an.
\end{remark}

\begin{remark}
Die Definition hängt nicht von der Wahl des positiv orientierten Orthonormalbasenfelds ab, denn zwei Wahlen $\{e_1,e_2\}$ und $\{e_1',e_2'\}$ unterscheiden sich durch eine Abbildung $A\colon U\to SO(2)$, d.h. $e_i' = \sum A_{ji}(x) e_j(x)$ für alle $x\in U$, also auch $\widetilde X_i(x) = \sum A_{ij}(x)\widetilde X'_j(x)$ für alle $x\in U$. Damit folgt, dass $\big(\widetilde X_1\circ\gamma_\varepsilon, \widetilde X_2\circ\gamma_\varepsilon\big)\colon \mathbb R\to\mathbb R^2$ und $\big(\widetilde X_1'\circ\gamma_\varepsilon, \widetilde X_2'\circ\gamma_\varepsilon\big)\colon \mathbb R\to\mathbb R^2$ homotop sind, da $\overline{B_\varepsilon(p)}\cap S\simeq D^2\subseteq\mathbb R^2$.
\end{remark}

\begin{theorem}[Gauß-Bonnet I]
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine kompakte orientierbare Fläche mit Einheitsnormalenfeld $N$. Sei $X\colon S\to\mathbb R^3$ ein differenzierbares Vektorfeld mit isolierten Nullstellen $p_1,\dots,p_k\in S$. Dann gilt:
\[
\int_S K\dd A= 2\pi \sum_{i=1}^k \ind(X,p_i).
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Für $\varepsilon > 0$ hinreichend klein ist $S_\varepsilon = S\setminus\bigcup_{i=1}^k B_\varepsilon(p_i)$ eine kompakte Fläche mit Rand $\partial S_\varepsilon = \bigcup_{i=1}^k(\partial S_\varepsilon)_i$ mit $(\partial S_\varepsilon)_i\simeq S^1$. Sei $\gamma_i\colon\mathbb R\to(\partial S_\varepsilon)_i$ eine Parametrisierung nach Bogenlänge mit Periode $T_i> 0$ wie oben, d.h. $\nu_i := J\gamma_i'$ ist der nach außen zeigende Einheitsnormalenvektor. Betrachte jetzt auf $S\setminus\{p_1,\dots,p_k\}$ die Vektorfelder $e_1:= g(X,X)^{-1/2}X$ und $e_2 = Je_1$. D.h. $\{e_1,e_2\}$ ist ein positiv orientiertes Orthonormalbasenfeld auf $S\setminus \{p_1,\dots,p_k\}$. Insbesondere gilt
\[
0 = Yg(e_i,e_j) = g(\nabla_Y e_i, e_j) + g(e_i,\nabla_Y e_j),
\]
also $g(\nabla_Y e_i, e_j) = - g(e_i, \nabla_Y e_j)$ und $g(\nabla_Y e_i, e_i) = 0$, mit anderen Worten $\nabla_Y e_i \perp e_i$ und $\nabla_Y e_1 = g(\nabla_Y e_1,e_2)e_2$ und $\nabla_Y e_2 = g(\nabla_Y e_2,e_1)e_1$. Für die Gaußkrümmung gilt
\begin{align*}
K &= g(R(e_1,e_2)e_2,e_1) = g(\nabla^2_{e_1,e_2}e_2, e_1) - g(\nabla^2_{e_2,e_1}e_2,e_1) = \\
&= g(\nabla_{e_1}\nabla_{e_2}e_2,e_1) - g(\nabla_{\nabla_{e_1}e_2}e_2,e_1) - g(\nabla_{e_2}\nabla_{e_1}e_2,e_1) + g(\nabla_{\nabla_{e_2}e_1} e_2, e_1) =\\
&= g(\nabla_{e_1}\nabla_{e_2}e_2,e_1) - g(\nabla_{e_1}e_2,e_1) g(\nabla_{e_1}e_2,e_1) -{} \\
&\phantom{=}{}-g(\nabla_{e_2}\nabla_{e_1}e_2,e_1) + g(\nabla_{e_2}e_1,e_2)g(\nabla_{e_2} e_2, e_1) =\\
&= g(\nabla_{e_1}\nabla_{e_2}e_2,e_1) + g(\nabla_{e_1}e_1,\nabla_{e_1}e_1) + g(\nabla_{e_2}\nabla_{e_1}e_1,e_2)  - g(\nabla_{e_2}e_2, \nabla_{e_2}e_2) =\\
&= g(\nabla_{e_1}\nabla_{e_2}e_2,e_1) - g(\nabla_{e_1}\nabla_{e_1}e_1,e_1) + g(\nabla_{e_2}\nabla_{e_1}e_1,e_2) + g(\nabla_{e_2}\nabla_{e_2}e_2,e_2) =\\
&= g(\nabla_{e_1}Z, e_1) + g(\nabla_{e_2}Z,e_2) = \div Z.
\end{align*}
mit $Z = \nabla_{e_1}e_1 + \nabla_{e_2}e_2$. Also folgt nach Stokes
\[
\int_{S_\varepsilon} K\dd A = \int_{S_\varepsilon}\div Z\dd A = \sum_{i=1}^k \int_{(\partial S_\varepsilon)_i}g(Z,\nu_i)\dd s.
\]
Es gilt nun $\nu_i = J\gamma_i' = g(J\gamma_i',e_1)e_1 + g(J\gamma_i',e_2)e_2 = -g(\gamma_i',Je_1)e_1 - g(\gamma_i',Je_2)e_2$, also $\nu_i = g(\gamma_i',e_1)e_2 - g(\gamma_i',e_2)e_1$, und $Z = g(\nabla_{e_2}e_2, e_1, e_1)e_1 + g(\nabla_{e_1}e_1,e_2)e_2$. Damit folgt
\[
g(Z,\nu_i) = -g(\gamma_i',e_2)g(\nabla_{e_2}e_2,e_1) + g(\gamma_i'e_1)g(\nabla_{e_1}e_1,e_2) = g(\nabla_{\gamma_i'}e_1,e_2).
\]
Also
\[
\int_{(\partial S_\varepsilon)_i}g(Z,\nu_i)\dd s = \int_0^{T_i} g{\big(\nabla_{\diff/\diff t}e_1(t), e_2(t)\big)}\dd t
\]
Sei $\{\tilde e_1,\tilde e_2\}$ ein Referenz-Orthonormalbasenfeld nahe $p_i$. Wir schreiben $e_1(t) = f_1(t) \tilde e_1(t) + f_2(t)\tilde e_2(t)$ und wählen eine Winkelfunktion $\Theta\colon\mathbb R\to\mathbb R$ mit $f_1 = \cos\Theta$ und $f_2 = \sin\Theta$. Dann ist
\begin{align*}
\nabla_{\diff/\diff t}e_1(t) &= \sum_i f_i'(t) \tilde e_i(t) + f_i(t) \nabla_{\diff/\diff t} \tilde e_i(t) =\\
&= -\Theta'(t) f_2(t)\tilde e_1(t) + f_1(t)\nabla_{\diff/\diff t}\tilde e_1(t) + \Theta'(t) f_1(t)\tilde e_1(t) + f_2(t)\nabla_{\diff/\diff t}\tilde e_2(t)
\end{align*}
und mit $e_2(t) = f_1(t)\tilde e_2(t) - f_2(t)\tilde e_1(t)$ folgt
\begin{align*}
g(\nabla_{\diff/\diff t}e_1(t),e_2(t)) &= \Theta'(t)(f_1(t)^2 + f_2(t)^2) + f_1(t)^2g(\nabla_{\diff/\diff t}\tilde e_1(t),\tilde e_2(t)) -{} \\
&\phantom{=}{}- f_2(t)^2g(\nabla_{\diff/\diff t}\tilde e_2(t), \tilde e_1(t)) =\\
&= \Theta'(t) + g(\nabla_{\diff/\diff t}\tilde e_1(t),\tilde e_2(t))
\end{align*}
Also folgt mit Stokes
\begin{align*}
\int_S K\dd A &= \lim_{\varepsilon\to 0}\int_{S_\varepsilon} K\dd A = \sum_{i=1}^k \lim_{\varepsilon\to 0} \int_0^{T_i} \Theta'(t)\dd s + \int_0^{T_i} g(\nabla_{\diff/\diff t}\tilde e_1(t),\tilde e_2(t)) \dd s =\\
&= \sum_{i=1}^k \lim_{\varepsilon\to 0} \int_0^{T_i} \Theta'(t)\dd s \pm \int_{\overline{B_\varepsilon(p_i)}\cap S}\div\widetilde Z\dd A = 2\pi \sum_{i=1}^k \ind(X, p_i).
\end{align*}
für $\widetilde Z = \nabla_{\tilde e_1}\tilde e_1 + \nabla_{\tilde e_2} \tilde e_2$.
\end{proof}

\begin{corollary}
Insbesondere hängt $\sum \ind(X,p_i)$ nicht von $X$ ab.
\end{corollary}

\begin{theorem}
Ist $S\subseteq\mathbb R^3$ kompakt, so existiert ein Vektorfeld $X\colon S\to\mathbb R^3$ mit isolierten Nullstellen.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweisskizze]
Für $a\in S^2$ betrachte die Höhenfunktion $f_a\colon S\to\mathbb R, p\mapsto \scalar{p}{a}$. Man hat folgenden Fakt aus der Morse-Theorie: Für fast alle $a\in S^2$ ist $f_a$ eine Morsefunktion, d.h. $\grad f_a(p) = 0 \implies \Hess f_a(p)\text{ ist nicht ausgeartet}$. Das heißt, $X := \grad f_a$ hat isolierte Nullstellen.\phantom{\qedhere}
\end{proof}

\begin{definition}
Sei $S\subseteq\mathbb R^3$ eine kompakte Fläche. Wir definieren die \emph{Eulercharakteristik}
\[
\chi(S) = \sum_{i=1}^k \ind(X,p_i)
\]
für ein beliebiges Vektorfeld $X$ mit isolierten Nullstellen $p_1,\dots,p_k\in S$.
\end{definition}

\begin{remark}
Sind $S$ und $\widetilde S$ orientierungserhaltend diffeomorph, so ist $\chi(S) = \chi(\widetilde S)$.
\end{remark}
\begin{proof}
Ist $\phi\colon S\to\widetilde S$ ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus und $X\colon S\to\mathbb R^3$ ein Vektorfeld mit isolierten Nullstellen $p_1,\dots,p_k\in S$, so definiert
\[
\widetilde X(\tilde p) = D\phi(\phi^{-1}(\tilde p)){\big(X(\phi^{-1}(\tilde p))\big)}
\]
ein Vektorfeld mit isolierten Nullstellen $\tilde p_i = \phi(p_i)$ und $\ind(\widetilde X,\tilde p_i) = \ind(X,p_i)$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Gauß-Bonnet II]
Ist $S\subseteq\mathbb R^3$ eine kompakte orientierte Fläche mit Einheitsnormalenfeld $N$. Dann ist
\[
\int_S K\dd A = 2\pi\chi(S).
\]
\end{theorem}

\end{document}
